Teorema de Runge para las funciones meromórficas

Question

¿Existe un nombre para esta extensión del teorema de Runge?

Teorema: Dejemos que $K\subset\mathbb{C}$ sea compacto, y que $A\subset K^c$ sea un conjunto que intersecte cada componente de $K^c$ . Sea $f$ sea meromorfo en un conjunto abierto $U$ que contiene $K$ . Sea $A_f$ denotan el conjunto de polos de $f$ en $K$ . Entonces hay una secuencia de funciones racionales $\{r_n\}$ tal que $r_n\to f$ uniformemente en $K$ y para cada $n$ los polos de $r_n$ están contenidos en el conjunto $A\cup A_f$ .

A continuación he publicado una prueba de este resultado. Es una generalización tan natural del teorema de Runge que estoy seguro de que se conoce, pero me gustaría tener una referencia para poder utilizarlo en un artículo sin tener que demostrarlo.

Gracias.

Answer 1

Prueba: Desde $K$ es compacto, podemos imponer las siguientes suposiciones sobre $K$ :

1. $K$ consiste en una unión finita de bolas cerradas.
2. Los polos de $K$ están contenidos en el interior $K^\circ$ .

Dejemos que $z_1,z_2,\ldots,z_k$ sean los polos de $f$ en $K$ con multiplicidades $m_1,m_2,\ldots,m_k$ . Definir $q(z)=(z-z_1)^{m_1}\cdots(z-z_k)^{m_k}$ y definir $g(z)=f(z)/q(z)$ que es analítica en alguna vecindad de $K$ . Como en la solución del usuario zhw. aquí podemos encontrar una secuencia de funciones racionales $\{t_n\}$ tal que $t_n\to g$ uniformemente en $K$ y cada $t_n$ tiene todos sus polos en $A$ y para cada $z_i$ Cada uno de ellos $t_n$ coincide con el valor de $f$ y su primer $m_k$ derivados en $z_i$ . Es decir,

$$\begin{array}{rcl} t_n(z_i)&=&g(z_i)\\ {t_n}'(z_i)&=&g'(z_i)\\ &\vdots\\ t_n^{(m_k)}(z_i)&=&g^{(m_k)}(z_i). \end{array}$$

Definir $r_n=t_n/q$ . Entonces, cada $r_n$ tiene todos sus polos en $A\cup A_f$ .

RECLAMO: $r_n\to f$ uniformemente en $K$ .

Arreglar $\epsilon>0$ y definir $M=m_1+m_2+\cdots+m_k$ . Elija un $\delta>0$ lo suficientemente pequeño como para que en cada polo $z_i$ de $f$ en $K$ el disco $B_{z_i}(3\delta)$ está contenida en $K^\circ$ y no contiene otros polos de $f$ que no sea $z_i$ . Elige algunos $N>0$ tal que para todo $n>N$ y $z\in K$ , $|t_n(z)-g(z)|<\epsilon\delta^M$ .

Por lo tanto, si $z\in K$ con $|z-z_i|>\delta$ para todos $i$ tenemos

$$|r_n(z)-f(z)|=\dfrac{|t_n(z)-g(z)|}{|q(z)|}<\dfrac{\epsilon\delta^M}{\delta^M}=\epsilon.$$

Ahora, para cada $i\in\{1,\ldots,k\}$ la suposición sobre la función $t_n-g$ tiene un cero en $z_i$ de la multiplicidad $m_k$ . Por lo tanto, $r_n-f$ es analítica en es analítica en $z_i$ y, por lo tanto, en todos los $K$ . Ahora, para cada $i\in\{1,\ldots,k\}$ , $r_n-f$ es analítico en $B_{3\delta}(z_i)$ y tiene una magnitud inferior a $\epsilon$ en $\partial B_{\delta}(z_i)$ por lo que por el teorema del módulo máximo, $|r_n-f|<\epsilon$ en $B_{\delta}(z_i)$ .

Tenemos $|r_n-f|<\epsilon$ en $K$ por lo que concluimos que $r_n\to f$ uniformemente en $K$ .