¿Cuál es la distribución de $\ln(\frac{X_1+X_2}{X_1})$ cuando $X_1, X_2 \sim \text{IID Exp}(1)$ ?

Question

Sé que es $\text{Exp}(1)$ pero no puedo probarlo. (EDIT: He descubierto un argumento, redactaré una prueba y la compartiré aquí).

Answer 1

Tomando $X_1,X_2 \sim \text{IID Exp}(1)$ que tenemos:

$$R \equiv \ln \bigg( \frac{X_1+X_2}{X_1} \bigg) \sim \text{Exp}(1).$$

Hay varias formas de demostrarlo. En caso de dificultad, la forma más sencilla es derivar la FCD. Para todos los $r \geqslant 0$ que tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} F_R(r) = \mathbb{P}(R \leqslant r) &= 1- \mathbb{P}( R > r ) \\[6pt] &= 1-\mathbb{P}( e^R > e^r ) \\[6pt] &= 1-\mathbb{P}( X_1+X_2 > X_1 \cdot e^r ) \\[6pt] &= 1-\mathbb{P}( X_2 > X_1 \cdot (e^r-1) ) \\[6pt] &= 1-\int \limits_0^\infty (1-F_{X_2}( x \cdot (e^r-1))) f_{X_1}(x) \ dx \\[6pt] &= 1-\int \limits_0^\infty \exp(-x \cdot (e^r-1)) \exp(-x) \ dx \\[6pt] &= 1-\int \limits_0^\infty \exp(-x \cdot e^r) \ dx \\[6pt] &= 1-\Big[ -e^{-r} \exp(-x \cdot e^r) \Big]_{x=0}^{x \rightarrow \infty} \\[6pt] &= 1- e^{-r}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Esto confirma que $R \sim \text{Exp}(1)$ .

Answer 2

Observe que $ln(\frac{X_1+X_2}{X_1})$ = $-ln(\frac{X_1}{X_1+X_2})$ . Desde $-ln({U})$ es exp(1) cuando U ~ Uniforme(0,1). Si podemos demostrar $\frac{X_1}{X_1+X_2}$ es uniforme estándar entonces habremos completado la prueba.

Observe que

$P(\frac{X_1}{X_1+X_2}\leq t) = P(\frac{X_1+X_2}{X_1}\leq \frac{1}{t}) = P\{X_2\leq X_1(\frac{1}{t}-1)\}= \int_0^\infty f_{X_1}(x_1)P(X_2 \leq x_1(\frac{1}{t}-1))dx = \int_0^{\infty}e^{-x_1}e^{-x_1(\frac{1}{t}-1)}dx_1 = \int_0^{\infty}e^\frac{x_1}{t}dx_1=t$

Esto implica $(\frac{X_1+X_2}{X_1})$ es uniforme, completando la prueba.