He visto algunos otros posts sobre la integral de una función positiva, parece que depende de que sea discontinua en casi ninguna parte. Entonces, ¿cuál es un ejemplo de una función discontinua en casi todas partes que es integrable, positiva, y tiene una integral cero?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Esto no tiene sentido para la integral de Riemann, ya que una función que es peor que la continua en casi todas partes (es decir, el conjunto de discontinuidades tiene medida positiva) no es integrable de Riemann.
Para el Integral de Lebesgue cualquier función medible $f : \Bbb R \to \Bbb R$ que es positiva en un conjunto de medida positiva (es decir, una función no negativa que no se identifica con la función cero) tiene integral de Lebesgue positiva. Para ver esto, observe que al menos uno (en realidad, todos pero finitamente muchos) de los conjuntos $\{x : f(x) > \frac 1 n\}$ tiene medida positiva; por lo tanto $$\int_{\mathbb R} f \ge \int_{\{x : f(x) > \frac 1 n\}} f \ge \frac 1 n m\left\{x : f(x) > \frac 1 n\right\} > 0$$ donde $m$ es la medida de Lebesgue.
Así pues, según las dos definiciones "principales" (o al menos, las más comunes) de la integral, cualquier función que sea integrable, no negativa y no siempre nula, tiene integral positiva.
