¿Qué me falta en este experimento mental sobre un agujero negro?

Question

Tengo un problema al montar un experimento mental de relatividad general (RG). Gracias por su ayuda.

Soy el observador, en un laboratorio que está cayendo a través del horizonte de sucesos de un agujero negro, observando una nube de partículas de prueba que caen libremente y que inicialmente está a caballo del horizonte. Las partículas por encima del horizonte están escapando al infinito en formación, como permite la RG. Mi laboratorio es lo suficientemente pequeño, o el agujero negro lo suficientemente masivo, como para que la fuerza de marea sea despreciable a lo largo de este experimento.

Este es mi problema: quiero todo que las partículas se muevan en formación mientras mido. El principio de equivalencia (PE) de la RG me dice que las leyes de la física son las mismas en mi laboratorio que en cualquier otro marco inercial. En otro marco inercial podría dejar que todas las partículas se movieran en formación simplemente dándoles a todas la misma velocidad que yo mido. Pero la RG también me dice que esta nube debe separarse. La RG exige que las partículas por debajo del horizonte se muevan inexorablemente hacia dentro, hacia la singularidad del agujero negro, mientras que las partículas por encima del horizonte se mueven siempre hacia fuera, alejándose del agujero negro. Entonces, ¿cómo puedo dejar que todas las partículas se muevan en formación, para que la PE sea cierta?

Si simplemente dejo que todas las partículas tengan la misma velocidad que yo mido (la velocidad de las partículas que escapan), ¿cómo pueden moverse hacia múltiples destinos? Si en cambio mi laboratorio estuviera cayendo hacia el suelo de la Tierra, y yo observara una nube de partículas de las que la mitad se escapan hacia el infinito y la otra mitad caen hacia el suelo, no tendrán todas la misma velocidad que yo mido; no se moverán en formación. Esto parece ser una verdadera paradoja. La RG no permite que todas las partículas se muevan en formación, pero su propio PE exige que lo hagan. ¿Qué se me escapa?

(Diré de antemano que no me conformaré con una respuesta que invoque la fuerza de marea, ya que he declarado que es despreciable como permite la RG. Los humanos y sus laboratorios puede en principio sobrevivir a una caída a través de un horizonte de sucesos, sin quedar peor. Se puede suponer que si la nube se está separando puedo detectarlo en un tiempo arbitrariamente corto en mi reloj, antes de que las partículas se hayan movido tanto como un nanómetro que yo mida. Dando crédito a quien lo merece, esta pregunta se inspiró en un artículo que puedes encontrar buscando "no black holes finbot". No es mío).

Answer 1

El horizonte de sucesos es un superficie nula lo que significa que si se escoge una región muy pequeña del espaciotiempo que esté a caballo del horizonte de sucesos, lo suficientemente pequeña como para que se aplique el principio de equivalencia, entonces cualquier marco inercial local en esta región debería medir que el horizonte de sucesos se mueve hacia fuera a la velocidad de la luz. Los objetos más lentos que la luz en esta región pueden evitar cruzar el horizonte de sucesos acelerando para alejarse de él, pero en términos de mediciones de distancia en el marco inercial local, deberían acercarse cada vez más al horizonte, de forma similar a los observadores de Rindler en el espaciotiempo plano que aceleran de tal forma que sus líneas del mundo se acercan asintóticamente a una superficie nula particular, la Horizonte de Rindler . Aquí hay un diagrama que muestra un horizonte de Rindler como una línea punteada, y la línea del mundo de los observadores acelerados de Rindler como hipérbolas negras, dibujadas desde la perspectiva de un marco inercial (las líneas grises representan superficies de tiempo constante en un sistema de coordenadas no inerciales en el espaciotiempo plano SR llamado Coordenadas de Rindler ):

Obsérvese que el diagrama anterior está dibujado desde la perspectiva de un marco inercial (donde los ejes x y t son coordenadas espaciales y temporales inerciales), no en coordenadas de Rindler: en coordenadas de Rindler el horizonte de Rindler sería simplemente una línea vertical de posición constante, al igual que las líneas del mundo de todos los observadores de Rindler. Y puesto que el horizonte de Rindler se mueve a la velocidad de la luz medida en un marco inercial, naturalmente los objetos más lentos que la luz al otro lado del horizonte deben alejarse del horizonte a medida que pasa el tiempo, independientemente de su aceleración, medida en un marco inercial SR.

editar: Originalmente dije que esto significa que la distancia entre los objetos más lentos que la luz que permanecen en lados opuestos del horizonte debe aumentar con el tiempo medido en un marco inercial, pero ahora me doy cuenta de que esto no es cierto: si se imagina que se copia y pega una de las curvas del diagrama anterior en el lado opuesto de la línea de puntos, la separación de coordenadas entre las dos curvas a lo largo del eje x seguiría siendo la misma en cada valor de t. Así que en ese sentido, desde la perspectiva de un marco inercial local en una pequeña vecindad del espaciotiempo a caballo entre el horizonte de sucesos, creo que los objetos a ambos lados del horizonte puede vuelan en formación en esta pequeña vecindad, aunque la que está fuera debe estar acercándose al horizonte en las coordenadas de este marco inercial mientras que la que está dentro debe estar alejándose de él. También hay que tener en cuenta que el hecho de que una partícula se acerque al horizonte en las coordenadas de un marco inercial local, no excluye la posibilidad de que esa misma partícula se esté moviendo más lejos del horizonte en términos de su radio de Schwarzschild, ya que las curvas de radio constante de Schwarzschild presumiblemente se estarían acercando al horizonte en un marco inercial local. Esto es lo que ocurre cuando se trazan curvas de radio de Schwarzschild constante en Coordenadas de Kruskal-Szekeres que tienen la bonita propiedad de que, al igual que en un marco inercial en SR, todos los rayos de luz que viajan en dirección radial tienen líneas del mundo que parecen líneas rectas a 45 grados de la vertical, al igual que el horizonte de sucesos. Por ejemplo, véase el diagrama de Kruskal-Szekeres de esta página donde la región blanca representa el espacio-tiempo fuera del horizonte de sucesos, la diagonal oscura es el horizonte de sucesos, y la región gris clara más allá es el interior del agujero negro. Puedes ver que el horizonte de sucesos y los lados de los conos de luz son ambos diagonales a 45 grados de la vertical, pero una línea de radio constante de Schwarzschild r=2,75M parece una curva en estas coordenadas, y una que se acerca cada vez más al horizonte con el tiempo en términos de las coordenadas radiales y temporales de Kruskal-Szekeres, aunque en las coordenadas de Schwarzschild r=2,75M permanecería a una distancia fija del horizonte en todo momento.

Así, se podría dibujar fácilmente una curva fuera del horizonte que se acercara a él con el tiempo en términos de coordenadas de Kruskal-Szekeres, pero que, sin embargo, cruzara la curva r=2,75M en dirección al exterior (junto con otras curvas de radio constante de Schwarzschild), alejándose del horizonte con el tiempo en términos de coordenadas de Schwarzschild. No tengo las matemáticas para verificar esto, pero me imagino que la relación entre las coordenadas de un marco inercial local y las coordenadas de Schwarzschild funciona de manera similar.

Answer 2

Llamemos a la formación "lanza". Y a un observador dentro del laboratorio de caída libre lo llamamos "Labguy". Y a un observador en el infinito lo llamamos "Farguy".

La lanza es lanzada fuera del laboratorio.

Labguy dice: "La lanza sigue moviéndose a velocidad constante, y su longitud se mantiene constante"

Farguy dice: "La velocidad del arpón comparada con la velocidad local de la luz cerca del arpón está disminuyendo, y la longitud del arpón está aumentando, es la contracción de Lorentz decreciente la que causa el alargamiento del arpón. Labguy no observa ningún alargamiento de la lanza, porque su aceleración lejos de la lanza anula la aceleración de la lanza hacia él".

Y esto es lo que piensa el Labguy sobre la lanza que alcanza al Farguy: "El Farguy está acelerando, la cabeza de la formación alcanza al Farguy, el final de la formación sólo alcanza el lugar donde el Farguy está ahora".

Relatividad especial básica:

Una varilla puede contraerse Lorentz en un marco, pero experimentar una disminución de la contracción Lorentz en otro marco.

Añadiendo un poco de relatividad general podemos decir:

Una varilla puede tener una contracción de Lorentz constante en un marco, pero experimentar una disminución de la contracción de Lorentz en otro marco.