¿Cómo describir los grupos de automorfismo?

Question

Cómo debo Describir los grupos de automorfismo $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_9)$ y $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3)$ ?

Si un grupo G contiene un subgrupo normal H de orden 9, G está generado por H y un elemento x que no está en H de orden 3, ¿Cómo debo clasificar todos esos grupos G?

Answer 1

Bien, tomemos los dos por separado.

Comience por señalar que $\text{Aut}(\mathbb{Z}_9)\to \mathbb{Z}_n^\times$ (donde este último es el grupo unitario) dado por $f\mapsto f(1)$ es un isomorfismo. Por lo tanto, usted sabe que $\text{Aut}(\mathbb{Z}_9)\cong \mathbb{Z}_9^\times$ . Ahora bien, es un hecho común que los elementos invertibles de $\mathbb{Z}_n$ son los coprimos a $n$ . Así, al menos sabe que $|\mathbb{Z}_9^\times|=\varphi(9)=6$ . Como sólo hay un grupo abeliano de orden $6$ puede concluir que $\mathbb{Z}_9^\times\cong\mathbb{Z}_6$ .

Ahora, el caso de $\text{Aut}(\mathbb{Z}_3^2)$ es un poco más complicado. La clave es notar que $\mathbb{Z}_3^2$ es sólo una bidimensionalidad $\mathbb{Z}_3$ -espacio vectorial y que los mapas de grupo son realmente $\mathbb{Z}_3$ -mapas lineales. Así, los mapas de grupo invertibles $\mathbb{Z}_3^2\to\mathbb{Z}_3^2$ son precisamente los invertibles $\mathbb{Z}_3$ -Mapas lineales $\mathbb{Z}_3^2\to\mathbb{Z}_3^2$ . Pero, este último conjunto de mapas tiene una bonita descripción. A saber, al elegir una base para $\mathbb{Z}_3^2$ , digamos que $\{(1,0),(0,1)\}$ se puede realizar isomórficamente el conjunto de $\mathbb{Z}_3$ -mapas lineales como sólo el $2\times2$ matrices invertibles sobre $\mathbb{Z}_3$ . Así, se ve que, hasta el isomorfismo, $\text{Aut}(\mathbb{Z}_3^2)$ es sólo $\text{GL}_2(\mathbb{Z}_3)$ .

Ahora bien, ambos resultados tienen generalizaciones. El segundo es más fácil. Es decir, usando exactamente la misma lógica, apuesto a que puedes demostrar que para cualquier primo $p$ y cualquier número entero $n$ que $\text{Aut}(\mathbb{Z}_p^n)\cong\text{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ .

La primera es un poco más difícil. Puedes demostrar, usando la misma técnica que mencioné, que $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ ( $n$ algún número entero) es simplemente $(\mathbb{Z}_n)^\times$ . Ahora, para encontrar $\mathbb{Z}_n^\times$ basta con encontrar $\mathbb{Z}_{p^m}^\times$ para $p$ un primo. Esto es porque, como anillos, $\mathbb{Z}_n$ se divide en un producto de anillos de la forma $\mathbb{Z}_{p^m}$ (por el teorema chino del resto). Como se trata de un isomorfismo de anillo, los grupos unitarios de los dos son isomorfos y como el grupo unitario de un producto es el grupo producto de las unidades se obtiene que $\mathbb{Z}_n^\times$ es sólo un producto de grupos de la forma $\mathbb{Z}_{p^m}^\times$ . Ahora, encontrar estos es un poco complicado, pero se obtiene el siguiente resultado:

$$\mathbb{Z}_{p^m}^\times\cong\begin{cases}\mathbb{Z}_{p^{m-1}(p-1)} & \mbox{if}\quad p\text{ is odd}\\ \{e\} & \mbox{if}\quad p=2, m=1\\ \mathbb{Z}_2 & \mbox{if}\quad p=2,m=2\\ \mathbb{Z}_{2^{m-2}}\times\mathbb{Z}_2 & \mbox{if}\quad p=2,m\geqslant 3 \end{cases}$$

Si realmente te interesa la prueba, puedes ver la entrada de mi blog al respecto aquí .