Derivado de $ C_m = \frac{{|x|}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\int_0^t \alpha ^{-\beta/2}e^{\frac{-x^2}{\alpha}-\alpha } \mathrm d\alpha $

Question

Tengo una expresión como esta

$$ C_m = \frac{{|x|}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\int_0^t \alpha ^{-\beta/2}e^{\frac{-x^2}{\alpha}-\alpha }d\alpha $$

Necesito calcular los valores de $\partial C_m /\partial x$ . No pude resolverlo usando wolfram.

Si alguien pudiera ayudarme a resolver este problema, sería genial.

Gracias.

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Para simplificar $\beta$ puede utilizarse como $\frac{1}{2}$ .

Answer 1

Diferenciarlo como producto:
$$\frac{\partial{C_m}}{\partial{x}} = \frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{{x}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\int_0^t {\alpha}^{-\beta/2}e^{-x^2/{\alpha}-{\alpha}}d{\alpha}\right) \\ =\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{{x}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\right)\int_0^t {\alpha}^{-\beta/2}e^{-x^2/{\alpha}-{\alpha}}d{\alpha}+ \frac{{x}e^{2x}}{\pi^{1/2}} \frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\int_0^t {\alpha}^{-\beta/2}e^{-x^2/{\alpha}-{\alpha}}d{\alpha} \right) \\ = \frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{{x}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\right)\int_0^t {\alpha}^{-\beta/2}e^{-x^2/{\alpha}-{\alpha}}d{\alpha}+ \frac{{x}e^{2x}}{\pi^{1/2}}\int_0^t \frac{\partial{}}{\partial{x}} \left({\alpha}^{-\beta/2}e^{-x^2/{\alpha}-{\alpha}}\right)d{\alpha} $$ para $x>0$
y de forma similar para $x<0.$