En la página 135 de Jech hay un paso que no entiendo en la prueba de "medible implica Mahlo". Ya hemos demostrado que "medible implica límite fuerte". Jech escribe
"Como $\kappa$ es un límite fuerte, el conjunto de todos los cardinales de límite fuerte $\alpha < \kappa$ está cerrado sin límites...."
Seguramente todo cardinal límite fuerte no tiene un conjunto de cardinales límite fuertes por debajo de él (tomemos el cardinal límite menos fuerte, por ejemplo).
¿Me estoy perdiendo algo?
gracias
Tienes razón. Pero ya sabes que un cardenal medible tiene que ser regular.
No es difícil ver que para un cardenal fuertemente inaccesible, el conjunto de cardenales fuertes límite es un club.
En general, el conjunto de cardinales de límite fuerte es siempre cerrado, porque el límite de cardinales de límite fuerte es un cardinal de límite fuerte. Sólo está acotado en la mayoría de los casos, pero como $\kappa$ es regular, obtenemos la no limitación también, para ver esto:
Dejemos que $\lambda<\kappa$ , toma $\lambda_0=\lambda;\ \lambda_{n+1}=2^{\lambda_n};\ \lambda_\omega=\sup\{\lambda_n\mid n\in\omega\}$ . Desde $\kappa$ es el límite fuerte, tenemos que $\lambda_n<\kappa$ para todos $n$ y porque es [incontable] regular, $\lambda_\omega<\kappa$ también.
No es difícil ver que $\lambda_\omega$ es un cardinal de límite fuerte, y por tanto el conjunto de cardinales de límite fuerte es ilimitado por debajo de $\kappa$ así que tiene que ser un club.
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