1: no Es sólo común, es siempre el caso: si usted tiene un polinomio con coeficientes reales, entonces las "raíces complejas" vienen en lo que se llama "conjugado pares: si $a+bi$ es una raíz, con $a,b$ números reales y $b\neq 0$, $a-bi$ es también una raíz.
La explicación tiene que ver con algo que se llama "complejo de conjugación". Complejo de conjugación es una operación con números complejos que envía el complejo de número de $a+bi$ a de los números complejos $a-bi$. Esto se representa con una línea sobre el número, que es, $\overline{z}$ denota el complejo conjugado de $z$:
$$\overline{a+bi} = a-bi,\qquad a\text{ and }b\text{ real numbers.}$$
La conjugación de aspectos sumas y productos:
$$\overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}\text{ and }\overline{z\times w}=\overline{z}\times\overline{w}\text{ for all complex numbers }z\text{ and }w.$$
También, un número $a+bi$ es real (es decir, ha $b=0$) si y sólo si $\overline{a+bi} = a+bi$.
Ahora supongamos que tenemos un polinomio con realcoeficientes,
$$p(x) = \alpha_nx^n + \cdots + \alpha_1x + \alpha_0$$
y que no son números reales $a$ $b$ tal que $a+bi$ es una raíz del polinomio. A conectarlo, obtenemos $0$:
$$p(a+bi) = \alpha_n(a+bi)^n + \cdots + \alpha_1(a+bi) + \alpha_0 = 0.$$
Tomando complejos conjugados en ambos lados, y la aplicación de las propiedades mencionadas anteriormente (complejo conjugado de la suma es la suma de los complejos conjugados; complejo conjugado del producto es el producto de la compleja conjugada; complejo conjugado de un número real como $\alpha_i$ es de por sí) tenemos:
$$\begin{align*}
0 &= \overline{0}\\
&= \overline{\alpha_n(a+bi)^n + \cdots + \alpha_1(a+bi) + \alpha_0}\\
&= \overline{\alpha_n}\overline{(a+bi)}^n + \cdots + \overline{\alpha_1}\overline{(a+bi)} + \overline{\alpha_0}\\
&= \alpha_n(a-bi)^n + \cdots + \alpha_1(a-bi) + \alpha_0\\
&= p(a-bi).
\end{align*}$$
Así que si $p(a+bi)=0$,$p(a-bi)=0$.
Raíces complejas no se corresponden en forma razonable a los "máximos y mínimos" de los polinomios. Corresponden a los mínimos cuadráticos factores. Es difícil de visualizar, a partir de una gráfica del polinomio en el eje real, donde (o incluso si) tiene raíces complejas.
El polinomio que intentó, $3x^6+4x^4$, puede ser escrito como
$$3x^6 + 4x^4 = x^4(3x^2 + 4).$$
El producto es igual a $0$ si y sólo si uno de los factores es $0$, lo $x=0$ o $3x^2+4 = 0$; para el segundo, necesitaría $x^2 = -\frac{4}{3}$, lo cual es imposible con los números reales; es decir, $3x^2 + 4$ es un irreductible cuadrática, que es donde las raíces complejas (en este caso, puramente imaginaria) de donde provienen. Ya que quieres un (complejo) número cuyo cuadrado es $-\frac{4}{3}$, una posibilidad es tomar un real número cuyo cuadrado es $\frac{4}{3}$, es decir,$\frac{2}{\sqrt{3}}$, y luego se multiplica por un número complejo cuyo cuadrado es $-1$. Hay dos de esos números, $i$$-i$, de modo que las dos raíces complejas se $\frac{2}{\sqrt{3}}i$$\frac{2}{\sqrt{3}}(-i) = -\frac{2}{\sqrt{3}}i$.
Cada uno de los distintos irreductible cuadrática factor de darle un par de raíces complejas conjugadas.
Como consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra, cada polinomio con coeficientes reales se puede escribir como un producto de polinomios que son de grado $1$, o irreductible cuadráticas.
Así se podría mencionar una aplicación aquí: una razón la gente se interesaba saber que el Teorema Fundamental del Álgebra era cierto (que cada polinomio real podría ser escrito como un producto de lineales y polinomios cuadráticos irreducibles) fue para asegurarse de que el método de fracciones parciales siempre estaría disponible para resolver una integral de una función racional (una función dada como el cociente de un polinomio por otro polinomio).
Otros usos son demasiado numerosos para mencionarlos, pero como Yuval menciona, esta pregunta y sus respuestas pueden ayudarle a empezar.
