Encontrar un límite superior para una probabilidad de mínimo por desigualdad de momento

Question

Supongamos que queremos demostrar que $$P[|S_j - S_i| \wedge |S_k - S_j| \ge \lambda] \le \frac{1}{\lambda}^{4\beta}C_{i,k}$$ para algunos $\lambda>0$ , $\beta \ge 0$ y algunos $C_{i,k}$ . Entonces, ¿cómo se implica esto en la siguiente desigualdad de momentos? $$E[|S_j - S_i|^{2\beta}|S_k-S_j|^{2\beta}]\le C_{i,k}$$

De la desigualdad de Markov tenemos $P[||S_j - S_i| \wedge |S_k - S_j| \ge \lambda] \le \frac{E[|S_j-S_i| \wedge |S_k - S_j|]^{4\beta} }{\lambda^{4\beta}}$ . Pero no sé cómo ligar esto con la expectativa anterior. Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Obsérvese la inclusión $$(|S_j - S_i| \wedge |S_k - S_j| \ge \lambda) = (|S_j - S_i| \ge \lambda) \cap (|S_k - S_j| \ge \lambda) \subset (|S_j - S_i||S_k - S_j| \geq \lambda^2)$$

Así, $$\begin{aligned}P(|S_j - S_i| \wedge |S_k - S_j| \ge \lambda) &\leq P(|S_j - S_i||S_k - S_j| \geq \lambda^2) \\ &=P(|S_j - S_i|^{2\beta}|S_k - S_j|^{2\beta}\geq \lambda^{4\beta}) \\ &\leq \frac{C_{i,k}}{\lambda^{4\beta}} \end{aligned}$$