Demostrar que la transformación lineal es uno a uno

Question

El operador lineal T: R2R2 definido por las ecuaciones

w1 = 4x1 - 6x2

w2 = -2x1 + 3x2

no es uno a uno. Utilizando los métodos de la clase, demuestre por qué esto es cierto. Una vez hecho esto, proporcione un ejemplo numérico simple y específico, donde el vector de salida no sea el vector cero, que ilustre por qué la transformación no es uno a uno.

Bien, he podido responder a la primera parte (demostrar que la transformación no es uno a uno).

Pero para la segunda parte, no sé exactamente qué hacer. ¿Simplemente doy cualquier vector de entrada que produzca una salida no nula?

Answer 1

Las transformaciones uno a uno tienen la propiedad de que si, para algunos vectores $u, v$ , $T(u) = T(v)$ , $u = v$ . Por lo tanto, para demostrar que esta transformación no es uno-a-uno, debe proporcionar un ejemplo de dos vectores $u, v$ tal que $T(u) = T(v)$ . La condición de vector cero significa simplemente que $T(u) \neq 0$ .

Answer 2

Se supone que debes encontrar $x_1, x_2, y_1, y_2$ tal que $(x_1, x_2) \neq (y_1, y_2), (w_1, w_2) \ne (0,0),$ y

$$4x_1-6x_2=w_1 = 4y_1-6y_2$$

$$-2x_1+3x_2=w_2 = -2y_1+3y_2$$