Un problema de continuidad de f(x)

Question

(Apóstol 3.20.7) Supongamos $f$ es integrable y no negativo en $[a, b]$ y que $\int_a^b f(x) dx = 0$ . Demostrar que $f(x) = 0$ en cada punto de continuidad de $f$ .

Answer 1

Supongamos que $\exists\ x$ tal que $f$ es continua en $x$ y $f(x)=c\neq 0$ . Entonces, debido a la continuidad de $f$ en $x$ tenemos que para algunos $\delta$ , en $(x-\delta,x+\delta)$ , $f(x)\in (c/2,3c/2)$ donde estamos tomando $\epsilon = c/2>0$ en la definición de continuidad.

Por lo tanto,

$ \int_a^b f(x)\,dx.$ = $ \int_a^{x-\delta} f(x)\,dx.$ + $ \int_{x-\delta}^{x+\delta} f(x)\,dx.$ + $ \int_{x+\delta}^b f(x)\,dx.$ .

Tarea para usted :- Deducir que $ \int_a^b f(x)\,dx.\neq 0$ y llegar a la contradicción deseada.