¿Cuál es la diferencia entre los dos números reales que satisfacen esta ecuación?

Question

¿Cuál es la diferencia absoluta entre los dos números reales $x$ para lo cual $(x+1)(x-1)(x-2) = (x+2)(x+3)(x-3)$ ? Expresa tu respuesta en la forma radical más sencilla

He intentado adivinar las soluciones pero al ver que no hay ceros comunes a los lados izquierdo y derecho no sé qué hacer.

Answer 1

Tenemos $$(x^2-1)(x-2) = (x^2-9)(x+2) \implies x^3-2x^2-x+2 = x^3+2x^2-9x-18$$ que se simplifica a $$4x^2-8x-20 = 0 \implies x^2-2x-5 = 0 \implies (x-1)^2 = 6$$ Por lo tanto, las raíces son $1\pm\sqrt6$ lo que significa que la diferencia entre las raíces es $2\sqrt6$ .

Answer 2

$(x^2-1)(x-2)-[(x^2-9)(x+2)]=0$ así $x^3-x-2x^2+2-x^3+9x-2x^2+18=0$ así que $-4x^2+8x+20=0$ por lo que resolviendo obtenemos $x=1\pm \sqrt{6}$ por lo que la diferencia = $2\sqrt{6}\approx 5$

Answer 3

$$(x+1)(x-1)(x-2) = (x+2)(x+3)(x-3)$$ $$\frac{(x+2)}{(x-2)}=\frac{x^2-1}{x^2-9}$$ $$1+\frac{4}{x-2}=1+\frac{8}{x^2-9}$$ $$4x^2-36=8x-16$$ $$x^2-2x-5=0$$ Ahora la diferencia de raíces es $$\frac{\sqrt{D}}{a}=\sqrt{24}$$