¿Cómo calcular el determinante de esta matriz?

Question

Necesito ayuda sobre esta pregunta para mi examen de álgebra. Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme a resolverla. Debo calcular el determinante de esta matriz. $$ \begin{vmatrix} a & (a+13)^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & (b+13)^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & (c+13)^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & (d+13)^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} $$

Answer 1

Expande la segunda columna y utiliza la linealidad del determinante: $$ \begin{vmatrix} a & (a+13)^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & (b+13)^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & (c+13)^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & (d+13)^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2+26a+169 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & b^2+26b+169 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & c^2+26c+169 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & d^2+26d+169 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix}$$ $$=\begin{vmatrix} a & a^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & b^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & c^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & d^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 26a& (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & 26b& (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & 26c& (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & 26d& (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 169 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & 169 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & 169 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & 169 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix}\\$$ $$=\begin{vmatrix} a & a^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & b^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & c^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & d^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 169 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & 169 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & 169 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & 169 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix}\\$$ ya que la segunda matriz tiene dos columnas proporcionales. Haciendo lo mismo con la tercera columna obtenemos: $$\begin{vmatrix} a & a^2 & 196 & (a+15)^2 \\ b & b^2 & 196 & (b+15)^2 \\ c & c^2 & 196 & (c+15)^2 \\ d & d^2 & 196 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 169 & a^2 & (a+15)^2 \\ b & 169 & b^2 & (b+15)^2 \\ c & 169 & c^2 & (c+15)^2 \\ d & 169 & d^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix}$$

Y finalmente ampliando la última columna se obtiene $0$ .

Answer 2

Reste (por ejemplo) la segunda columna de la tercera y la tercera de la cuarta, entonces utilizando $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ lo consigues:

$$\begin{vmatrix} a & (a+13)^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & (b+13)^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & (c+13)^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & (d+13)^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & (a+13)^2 & 2a+27 & 2a+29 \\ b & (b+13)^2 & 2b+27 & 2b+29 \\ c & (c+13)^2 & 2c+27 & 2c+29 \\ d & (d+13)^2 & 2d+27 & 2d+29 \\ \end{vmatrix}$$ Ahora aplique la linealidad en la tercera y cuarta columnas y cada uno de los cuatro determinantes que obtenga tendrá (al menos) una columna que sea un múltiplo escalar de otra columna; así es $0$ .

Answer 3

$$ \det\begin{bmatrix} a & (a+13)^2 & (a+14)^2 & (a+15)^2 \\ b & (b+13)^2 & (b+14)^2 & (b+15)^2 \\ c & (c+13)^2 & (c+14)^2 & (c+15)^2 \\ d & (d+13)^2 & (d+14)^2 & (d+15)^2 \end{bmatrix} $$ Resta la segunda columna de la tercera y la cuarta $$ \det\begin{bmatrix} a & (a+13)^2 & 2a+27 & 4a+56 \\ b & (b+13)^2 & 2b+27 & 4b+56 \\ c & (c+13)^2 & 2c+27 & 4c+56 \\ d & (d+13)^2 & 2d+27 & 4d+56 \end{bmatrix} $$ Resta $2$ veces la primera columna de la tercera y $4$ veces la primera columna de la cuarta $$ \det\begin{bmatrix} a & (a+13)^2 & 27 & 56 \\ b & (b+13)^2 & 27 & 56 \\ c & (c+13)^2 & 27 & 56 \\ d & (d+13)^2 & 27 & 56 \end{bmatrix} $$ Como la cuarta columna es un múltiplo de la tercera, el determinante es $0$ .