Subconjuntos conectados de espacios métricos (o T1)

Question

He probado algunas afirmaciones sobre subconjuntos conectados de un espacio métrico. Son muy básicas, pero quiero asegurarme de que son ciertas. ¿Podría alguien decirme si estas afirmaciones son ciertas o no?

Declaración 1

Dejemos que $X$ ser un $T_1$ espacio. Sea $C$ sea un subconjunto conexo de $X$ . Si $C$ es finito, entonces $|C|1$ .

Declaración 2

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Sea $C$ sea un subconjunto conexo infinito de $X$ . Entonces, $\forall p\in C$ , $p$ es un punto límite de $C$ .

Answer 1

Ambos son correctos.

Para el primero, si se asume que no es un singleton o el conjunto vacío, se puede utilizar la "Hausdorffness" para crear para cada $x$ de $C$ un conjunto abierto que separa $x$ del resto de $C$ porque $C$ es finito. Con esto se crea una separación finita de $C$ y esto es una contradicción con su contenido.

Para el segundo, cada punto de un conjunto $A$ es un punto límite de $A$ siempre, ya que se puede tomar la secuencia constante. Pero supongo que querías decir que para cada $x$ en $C$ , $x$ es un punto límite de $C-\{x\}$ . En ese caso se puede asumir que no es así. Entonces hay un subconjunto de $X$ , $U$ una vecindad abierta de $x$ para que no se cruce con $C-\{x\}$ y digamos que $V$ es la intersección de $U$ y $C$ Está abierto en $C$ y $C-\{x\}$ también está abierto en $C$ desde $\{x\}$ está cerrado en $X$ (espacio métrico), por lo que $V$ y $C-\{x\}$ forman una separación de $C$ Por lo tanto $C$ no está conectado.