Proporcionar un contraejemplo para demostrar que Nul(A) es un subespacio de R^n

Question

Así que en mi clase de álgebra lineal, se supone que debemos dar un contraejemplo si alguna pregunta de verdadero/falso es falsa. La pregunta dada es,

El conjunto de todas las soluciones de un sistema de m ecuaciones homogéneas en n incógnitas es un subespacio de $R^m$ .

Ahora, sé que esto es falso porque el $Nul(A)$ es en realidad un subespacio de $R^n$ .

Sin embargo, esta no sería una respuesta aceptable. Es falsa, por lo que necesito algún contraejemplo, y no estoy muy seguro de cómo plantear un contraejemplo para este problema.

Answer 1

Dejemos que $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}$ .

Dado $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ cualquier solución, $\mathbf{x}$ debe ser un elemento de $\mathbb{R}^2$ por la definición de la multiplicación matriz-vector. Pero $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ corresponde a un sistema con una sola ecuación. Por lo tanto, la afirmación dada debe ser falsa.

Answer 2

Considere el caso cuando $n=1$ y $m=8$ . El conjunto de soluciones es un miembro de $R^1$ y no tendrá 8 dimensiones.