Lipchitz vs Derivada Limitada

Question

Oigo muchas veces a los profesores decir que una función tiene derivada acotada cuando lo que quieren decir es que la función es Lipschitz. Lo hacen a propósito y a veces incluso dicen "por supuesto que me refiero a Lipschitz con eso".

Quería preguntar si ambas cosas son realmente lo mismo o si sólo una implicación o ninguna implicación es correcta. Tal vez sea cierto sólo bajo ciertas condiciones.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una función Lipschitz es ciertamente continua, y de hecho uniformemente continua. Pero no es necesario que sea diferenciable.

Sin embargo, por el Teorema del Valor Medio, si una función tiene derivada acotada, es automáticamente Lipschitz con constante $M=\sup|f'(x)|$