Prueba de la convergencia casi segura de la suma de variables aleatorias iid

Question

He intentado demostrar el siguiente lema:
Dejemos que $X_1,X_2,\ldots$ variables aleatorias no negativas iid con $E[X_1]=\infty$ y que $a\in(0,1)$ Así pues, el resultado es el siguiente $\sum\limits_{n=1}^\infty a^n exp(X_n)=\infty$ casi seguro.

Intenté usar a Borel Cantelli pero fallé al probar que para $L\in N$ tenemos $\sum\limits_{k=1}^\infty P(\sum_{n=1}^k a^k exp(X_n)<L)<\infty$ .

¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=1}^\infty P(a^n \exp(X_n)>1)=\sum_{n=1}^\infty P(X_1/\log(1/a)>n)=\infty $$ utilizando el hecho de que $\int_0^\infty P(X_1>x)\, dx=EX_1=\infty$ . Borel Cantelli implica que $a^n\exp(X_n)>1$ i.o a.s. Por lo tanto $\sum a^n\exp(X_n)=\infty$ a.s.