¿Un límite que existe en coordenadas polares pero no en coordenadas cartesianas?

Question

Veamos la función $$ f(x,y) \begin{cases} \frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2} & (x,y)=(0,0) \\0 & (x,y)\neq(0,0)\end{cases}.$$ Al cambiar a coordenadas polares se obtiene $$ f(r,\theta)=\begin{cases} \frac{r^3 \sin \theta}{r^2\sin^2\theta+r^4} & r\neq0 \\0 & r=0\end{cases}.$$ Nos gustaría investigar la existencia de un límite para $f$ en el origen. En coordenadas cartesianas ( $f(x,y)$ ) se puede ver inmediatamente que el límite no existe porque por ejemplo en el camino $y=0$ tenemos $\lim_{x\rightarrow 0,y=0} f(x,y)=0$ y en el camino $y=x^2$ tenemos $\lim_{x\rightarrow 0,y=x^2} f(x,y)=\frac{1}{2}$ .

Sin embargo, en coordenadas polares tenemos $$ f(r,\theta)=\begin{cases} \frac{r \sin \theta}{\sin^2\theta+r^2} & r\neq0 \\0 & r=0\end{cases} $$ para que $$ \lim_{r\rightarrow 0}f(r,\theta) = \begin{cases} 0 & \sin\theta = 0\\ 0 & \sin\theta \neq 0 \end{cases}$$ por lo que el límite existe y es cero independientemente de $\theta$ . ¿Por qué parece que el límite no existe en coordenadas cartesianas pero sí en coordenadas polares?

Edición: Gracias a los perspicaces comentarios de esta página y de otras preguntas similares en el sitio, la falta de límites de la expresión con $\sin^2 \theta$ es la clave del fracaso de la existencia del límite. $\sin\theta$ puede hacerse arbitrariamente pequeña, haciendo que la expresión completa sea arbitrariamente grande, contrarrestando efectivamente $r\rightarrow 0$ .

Answer 1

El límite parece existir en coordenadas polares, ya que sólo has probado las curvas con $\theta$ . Esto equivale a probar sólo las líneas $y=mx$ (y la línea $x=0$ ) en coordenadas cartesianas.

En efecto, para estas líneas tenemos:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac {y(x^2+y^2)}{y^2 + (x^2 + y^2)^2} = \lim_{x\to 0}\frac {mx^3(1+m^2)}{m^2x^2 + x^4(1+m^2)^2}=\lim_{x\to 0}\frac {mx(1+m^2)}{m^2 + x^2(1+m^2)^2} =0$$

Supongamos que tomamos otra curva: $r = \theta$ . Entonces:

$$\lim_{r\to 0}\frac {r\sin\theta}{\sin^2\theta + r^2} = \lim_{r\to 0}\frac {r\sin r}{\sin^2 r+ r^2} = \lim_{r\to0}\frac {(\sin r)/r}{1 + (\sin^2 r)/r^2} = \frac1{1+1} = \frac12$$

que no es cero, por lo que el límite no puede existir.