Estoy estudiando optimización convexa, sigo viendo esta frase sin más explicación: "Los conos adecuados se pueden utilizar para generalizar la idea de una desigualdad".
¿Podría alguien explicarlo, por favor?
Respuesta
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ˈjuː.zɚ79365
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La desigualdad $x\ge y$ puede escribirse como $x-y\in [0,\infty)$ . Aquí el conjunto $[0,\infty)$ es un cono (propio); es cerrado bajo adición y multiplicación por escalares no negativos. Generalizando esto, podemos escribir $x\ge_C y$ si $x-y\in C$ , donde $C$ es un cono en algún espacio vectorial real.
Un ejemplo sencillo es $C=\{\vec x \in\mathbb R^n:x_i\ge 0 \ \forall i\}$ para lo cual $\ge_C$ es la comparación por componentes de los vectores. Un ejemplo menos sencillo, pero importante, surge cuando $C$ es el cono de matrices semidefinidas positivas, considerado como un subconjunto de $\mathbb R^{n\times n}$ .
