Encuentre el rango de $ f(x)=9^x - 3^x+1$

Question

Problema :-Encontrar el rango de la función $ f(x)=9^x - 3^x+1$ , aquí el dominio de $f$ es $\mathbb R$ .

Solución : $ f(x)=9^x - 3^x+1$ . Sea $f(x)=y$ . Entonces $$ \begin{split}y&=9^x - 3^x+1\\ y&=3^{2x} - 3^x+1 \end{split}$$ Dejemos que $3^x= u$ . Entonces $ y=u^2 - u+1$ Así que $$ u^2 - u+1-y=0.$$

¿Lo estoy haciendo bien?

Answer 1

Después de algunos cálculos, obtendrá $$f(x)=(3^x-1/2)^2+3/4.$$

Answer 2

Se ve bien. Para terminar, completamos el cuadrado y notamos que: $$ y = u^2 - u + 1 = \left(u^2-u+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4} = \left(u-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} \ge 0+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} $$ ya que el cuadrado de cualquier número real debe ser no negativo. Por lo tanto, el rango es: $$ \{y\in \mathbb{R} \mid y \ge3/4\} $$