Optimización restringida con vectores unitarios

Question

Quiero encontrar el vector $v$ con las siguientes propiedades

$v \cdot v = 1$ (unidad de longitud)

$v \cdot w = \alpha$ , donde $w$ es también un vector unitario

$(v \cdot n)^2$ se minimiza

¿Existe una solución cerrada para $v$ ?

Answer 1

WLOG asume $w=(1,0,...,0)$ y $n = (n_1,n_2,0,...,0)$ es decir, elegir las coordenadas de manera que $w$ es el primer vector unitario, y $n$ está en el plano abarcado por los vectores unitarios primero y segundo. Escribe $v=(v_1,...,v_k)$ .

Entonces $v\cdot w=\alpha$ significa $v = (\alpha,v_2,...,v_k)$ y $v\cdot v=1$ significa que $v_2^2+\cdots + v_k^2 = 1-\alpha^2$ . Por lo tanto, si $\alpha > 1$ no hay solución.

Ahora ten en cuenta que, $$ (v\cdot n)^2 = (\alpha n_1 + v_2n_2)^2 = (\alpha n_1 / n_2 + v_2)^2 / n_2^2 $$

Se trata de una cuadrática en $v_2$ que se minimiza en $v_2=\alpha n_1 / n_2$ y aumenta a partir de este valor. Sin embargo, tenemos la restricción $v_2^2 = 1 - \alpha^2 - v_3^2 - \cdots v_k^2$ lo que significa que necesitamos $v_2^2 \leq 1 - \alpha^2$ .

Por lo tanto, debemos elegir $v_2$ tan cerca de $\alpha n_1 / n_2$ como sea posible sin dejar de mantener $v_2^2 \leq 1-\alpha^2$ .

Explícitamente, $$ v_2 = \begin{cases} -\sqrt{1-\alpha^2} & \alpha n_1/n_2 \leq -\sqrt{1-\alpha^2} \\ \alpha n_1 / n_2 & -\sqrt{1-\alpha^2} < \alpha n_1 / n_2 < \sqrt{1-\alpha^2} \\ \sqrt{1-\alpha^2} & \alpha n_1/n_2 \geq \sqrt{1-\alpha^2} \end{cases} $$

En el primer y último caso, $v_3,...,v_k$ deben ser todos cero para satisfacer las restricciones. Sin embargo, en el caso medio podemos elegir cualquier $v_3,...,v_k$ para que se cumplan las restricciones (para $k>3$ habrá infinitas soluciones).