Si dos matrices son equivalentes en fila, entonces, por definición, una matriz puede convertirse en la otra mediante una serie de operaciones elementales en fila. No sé hasta qué punto estás en tus estudios de álgebra lineal, pero cada operación elemental de fila puede representarse mediante una "matriz elemental".
Si $E$ es la matriz elemental que representa una operación de fila elemental, entonces el producto $EA$ es igual a la operación de fila elemental aplicada a la matriz $A$ . Para encontrar la matriz elemental para una determinada operación de fila elemental, todo lo que hay que hacer es aplicar la operación de fila elemental a la $n\times n$ matriz de identidad, donde $n$ es el número de filas de la matriz $A$ .
Por ejemplo, si A es una matriz con 3 filas, la matriz elemental que representa la operación de multiplicar la segunda fila de la matriz por 3 es la matriz $\pmatrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 0 \\ 0 & 0 & 1}$ y la matriz elemental que representa el intercambio de las filas 1 y 3 es $\pmatrix{0 & 0 & 1 \\ 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 0}$ .
Si $A$ y $B$ son matrices equivalentes en filas, entonces por definición $A=E_k E_{k-1}E_{k-2}... E_3 E_2 E_1 B$ , donde todos $E_i$ son varias matrices elementales que representan las operaciones de fila elementales utilizadas para obtener de $B$ a $A$ . Por la asociatividad de la multiplicación de matrices, esto significa $A=(E_k E_{k-1}E_{k-2}... E_3 E_2 E_1)B$ Así que $C=E_k E_{k-1}E_{k-2}... E_3 E_2 E_1$ .
