Dejemos que $ \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \delta&\tau&&&&O\\ \sigma&\delta&\tau&&&&\\ &\sigma&\cdot&\cdot&&\\ &&\cdot&\cdot&\cdot&\\ &&&\cdot&\cdot&\tau\\ O&&&&\sigma&\delta \end{bmatrix} $ sea el $n\times n$ matriz laplaciana discreta. Se trata de una matriz tridiagonal de Toeplitz, por lo que conocemos sus valores y vectores propios. El $k$ -ésimo elemento de la $j$ -El vigésimo vector propio viene dado, por tanto, por
$$ v_{j,k}=\sqrt{\frac{2}{n+1}}\sin\bigg(\frac{jk\pi}{n+1}\bigg) $$ También, $\mathbf{L}$ tiene $n$ distintos valores propios distintos de cero, por lo que es invertible y tiene una base de vectores propios. Ahora tengo el vector $\mathbf{f}=\begin{bmatrix}1,1,...,1\end{bmatrix}^T$ . Quiero ampliar $\mathbf{f}$ en las bases propias de $\mathbf{L}$ Así que $\mathbf{f}=\sum_{j=1}^n\alpha_j\mathbf{v}_j$ . ¿Hay algún truco fácil para construir los coeficientes $\alpha_j$ ? Estaba pensando en explotar la ortogonalidad de los vectores propios, pero no estoy seguro de que esto vaya a funcionar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Basándonos en los comentarios, parece que en última instancia estás buscando una forma cerrada para la expresión $$ \alpha_j=\sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{jk\pi}{n+1}\right). $$ Dejar $\omega = \exp(\frac{i\pi}{n+1})$ tenemos $$ \alpha_j = \sum_{k=1}^n \operatorname{Im}[\omega^{jk}] = \operatorname{Im}\sum_{k=1}^n \omega^{jk} = \operatorname{Im}\left( \omega \cdot \sum_{k=0}^{n-1} (\omega^{j})^k\right) = \operatorname{Im} \left(\omega \cdot \frac{1 - \omega^{jn}}{1 - \omega^j}\right)\\ = \operatorname{Im} \left(\frac{\omega^{j} - \omega^{j(n+1)}}{1 - \omega^j}\right) = \operatorname{Im} \left(\frac{\omega^{j} - [\omega^{(n+1)}]^j}{1 - \omega^j}\right) = \operatorname{Im} \frac{\omega^{j} - (-1)^j }{1 - \omega^j} $$ En el caso de que $j$ es par, esto se convierte en $$ \alpha_j = \operatorname{Im} \frac{\omega^{j} - 1 }{1 - \omega^j} = -\operatorname{Im} \frac{1 - \omega^j}{1 - \omega^j} = -\operatorname{Im} 1 = 0. $$ Cuando $j$ es impar, tenemos $$ \operatorname{Im} \frac{1 + \omega^{j}}{1 - \omega^j}\\ = \operatorname{Im} \frac{(1 + \omega^{j})(1 - \omega^{-j})}{(1 - \omega^j)(1 - \omega^{-j})} = \operatorname{Im} \frac{\omega^j - \omega^{-j}}{|1 - \omega^j|^2} =\frac{2 \operatorname{Im}(\omega^j)}{|1 - \omega^j|^2}. $$
Entonces tenemos $\operatorname{Im}(\omega^j) = \sin(j\pi/(n+1))$ y $$ |1 - \omega^j|^2 = [1-\cos(j\pi/(n+1))]^2 + \sin^2(j\pi/(n+1))\\ = 2 - 2\cos(j\pi/(n+1)). $$ Todos juntos: para impar $j$ , $$ \alpha_j = \frac{\sin(j\pi/(n+1))}{1 - \cos(j\pi/(n+1))}. $$ De hecho, tenemos la identidad $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \cot(x/2)$ por lo que lo anterior se puede escribir como $$ \alpha_j = \cot\left(\frac{j\pi}{2(n+1)}\right) = \cot\left(\frac{j}{n+1}\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$ Desde $\cot(x)$ es decreciente en el intervalo $(0,\pi/2]$ vemos que para impar $j$ El $\alpha_j$ disminuyen a medida que $j$ aumenta.
