integral definida y funciones

Question

Si $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$ =1 $ then $ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-\frac{1}{x})dx $ equals $ ?$

1. Mi intento : Traté de asumir una función que encierra un área de 1 ya que toma valores de - $\infty$ a $\infty$ y luego reemplazar $x$ a $x$ - $\frac{1}{x}$ Pero No he podido llegar a la respuesta. Por favor, dígame algún buen enfoque para resolver este problema.

Answer 1

Dejemos que $y:=x-\frac{1}{x}$ para $x\neq 0$ . Entonces, existe un $2$ -a- $1$ correspondencia entre $x$ y $y$ (A saber, $x$ y $-\frac{1}{x}$ se asignan al mismo $y$ ). Es decir, $$\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)=2\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,\text{d}x=2\,.$$ Ahora, con $t:=-\frac{1}{x}$ tenemos $$\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}\left(-\frac{1}{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\,f\left(t-\frac{1}{t}\right)\,\text{d}t\,.$$ Desde $$\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}x+\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}\left(-\frac{1}{x}\right)\,,$$ obtenemos $$\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)=2\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,\text{d}x\,.$$ Así, $$\int_{-\infty}^{+\infty}\,f\left(x-\frac1x\right)\,\text{d}x=1\,.$$