Me gustaría conseguir una referencia donde pueda aprender sobre la teoría de representaciones proyectivas de grupos finitos sobre los números complejos (o sobre cualquier campo K tal que el orden del grupo dado en estudio sea invertible en K). Y cómo se puede relacionar esto con la teoría de caracteres para representaciones lineales (con la que estoy más familiarizado). Gracias.
Respuestas
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Muchos libros de texto cubren este material. Por ejemplo, Curtis y Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Alegbras, Wiley,1962. Las representaciones proyectivas de grupos finitos (en el sentido de Schur) no son más que auténticas representaciones lineales de extensiones centrales. A menudo surgen en la teoría de Clifford, que puede considerarse como la descomposición de las representaciones en presencia de subgrupos normales. Una situación frecuente es tener un irreducible $\mathbb{C}G$ -Módulo $V$ cuya restricción a un subgrupo normal $N$ es una suma directa de irreducibles isomorfos $\mathbb{C}N$ -módulos, digamos que todos son isomorfos a $U$ . En tal situación, hay una acción de $G$ por automorfismos internos en ${\rm End}_{\mathbb{C}}(U)$ . Esto casi da una acción de $G$ en $U$ sí mismo, pero no del todo, la forma en que un elemento de $G$ debe actuar sobre $U$ sólo es único hasta un escalar múltiple. Por lo tanto, $U$ ofrece una representación proyectiva de $G$ pero no siempre una auténtica representación lineal. Sin embargo, esto da lugar a una $2$ -ciclo de $G$ y, por tanto, a extensión central finita de $G$ , digamos que ${\hat G}$ y $U$ se convierte en un auténtico $\mathbb{C}{\hat G}$ -módulo. Esto a su vez da una descomposición tensorial de $V$ ( pero como $\mathbb{C}{\hat G}$ -módulo), de la forma $V = U \otimes W$ , donde $W$ es otro irreducible $\mathbb{C}{\hat G}$ -módulo.
Mike Schall
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Para complementar la útil respuesta de Geoff, añadiría otra referencia estándar: El capítulo 11 del libro de 1976 Teoría de los caracteres de los grupos finitos de I.M. Isaacs (reimpreso en una edición de AMS-Chelsea). Aquí y en el antiguo libro de Curtis-Reiner (secciones 51-53) se obtienen muchos detalles sobre cómo surgen las representaciones proyectivas en la teoría de grupos finitos, junto con un tratamiento de la Multiplicador de Schur (y la prueba de que también es finito). La teoría se origina básicamente con Schur hace un siglo, cuyo tratamiento de los grupos simétricos y grupos relacionados es el tema de una monografía de Oxford de 1992 por P.N. Hoffman y J.F. Humphreys. En el uso moderno, los "conjuntos factoriales" de Schur se traducen al lenguaje de la cohomología.
En el caso de los grupos finitos, las representaciones proyectivas surgen de forma natural cuando se tiene un grupo y un grupo cociente que considerar, como señala Geoff. Pero ideas similares surgen de forma natural en la física, por ejemplo al tratar con grupos ortogonales especiales como grupos de simetría: aquí las representaciones surgen en un contexto físico y la noción de "espín" de una partícula se explica mejor elevando una representación proyectiva al grupo de cobertura de espín. Ahora los grupos implicados pueden ser infinitos, pero gran parte del formalismo sigue siendo el mismo.
Del mismo modo, cuando Steinberg expuso en su influyente obra de 1963 Nagoya En su artículo "Representaciones de grupos algebraicos" para estudiar las representaciones modulares de los grupos de Chevalley sobre campos finitos, comenzó por localizar representaciones proyectivas y luego investigó cómo éstas podrían elevarse a grupos de cobertura. Aquí la cuestión es que los grupos interesantes pueden ser simples, en cuyo caso suelen tener grupos de cobertura no simples en el fondo: por ejemplo, $SL_2(\mathbb{F}_q) \rightarrow PSL_2(\mathbb{F}_q)$ . Con el tiempo, el estudio de Steinberg sobre los levantamientos y las extensiones centrales condujo a ideas mucho más profundas en el caso de los campos infinitos.
En todo esto es importante evitar cualquier confusión con el lenguaje homológico no relacionado de módulos proyectivos Aunque la gente suele estudiar las representaciones de grupos finitos utilizando el lenguaje de los módulos.
Elias Yarrkov
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