Definición de régimen residual

Question

En la página 161 de la "Teoría de la Intersección" de Fulton está escrito:

Dejemos que $D\subseteq W \subseteq V$ sean imbricaciones cerradas de esquemas. Supongamos que $D$ es un divisor de Cartier en $V$ . Existe un subesquema cerrado $R$ de $W$ , llamado el esquema residual de $D$ en $W$ (con respecto a $V$ ), de manera que $W=D\cup R$ y, además, las láminas ideales sobre $V$ están relacionados por

$F(W)=F(D).F(R)\qquad(1)$

De hecho, la inclusión $D\subseteq W$ significa que $F(W)\subseteq F(D)$ de modo que toda ecuación local para $W$ es divisible de forma única por una ecuación local para $D$ los cocientes dan ecuaciones locales para $R$ .

No puedo entender esta definición. En particular, la condición sobre las láminas ideales. ¿Cómo la relación (1) nos dice que podemos dividir ecuaciones locales? Se trata de producto de ideales no de elementos. ¡¡¡No sé!!!

Answer 1

Se puede construir una cubierta abierta afín de $V$ para que en cada pieza, $D$ se recorta con una única ecuación local $f$ . Por lo tanto, basta con tratar el problema en el caso de que $V=\operatorname{Spec} A$ es afín y $D$ se recorta con una sola ecuación $f$ .

Como $D\subset W$ tenemos que $I_W \subset I_D \subset A$ donde $I_W$ y $I_D$ son los ideales que recortan $W$ y $D$ respectivamente. Pero como $D$ se recorta con una sola ecuación $f$ Esto significa que $I_D=(f)$ Así que $I_W\subset (f)$ . Esto significa exactamente que cada elemento de $I_W$ puede escribirse como $f\cdot r$ para algunos $r\in A$ y esto es lo que el texto quiere decir al dividir las ecuaciones locales.