¿Son los espacios cartográficos paracompactos?

Question

Sea X una variedad (de dimensión finita). Consideremos un espacio de mapeo suave $$PX = C^\infty(I, X)$$ donde I = [0,1] es el intervalo cerrado. ¿Es este espacio paracompacto? ¿Y si fijamos un punto x en X y consideramos el puntiagudo espacio del camino, ¿es este espacio paracompacto?

Answer 1

¿Qué topología quiere en $C^\infty(I,X)$ ? Una topología natural, la de convergencia uniforme de todas las derivadas, es metrizable, por lo tanto paracompacta.