Generadores del primer grupo de homología singular de una superficie de Riemann

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann incrustada en $\mathbb C^2$ con coordenadas $(z,w)$ y que $\pi_z \colon X \to \mathbb C$ sea la proyección sobre la primera coordenada con la propiedad de que para un número cofinito de puntos $z \in \mathbb C$ existe una vecindad $U_z$ que contiene $z$ y existen vecindades de puntos en $\pi^{-1}(z)$ tal que $\pi_z$ es el mapa biholomórfico de cada uno de estos barrios a $U_z$ . Para un número finito de puntos $z_0 \in \mathbb C$ permitimos tener algunos puntos en $\pi^{-1}(z_0)$ tales que tienen vecindades con coordenadas locales $u$ en el que el mapa es sólo $z-z_0 = u^k$ , $k \geq 2$ . Ahora dejemos que $\{\gamma_j\}$ sea una colección de pequeñas curvas cerradas de la forma $u = \varepsilon e^{i\varphi}$ , $\varphi \in [0,2\pi)$ , $\varepsilon$ es pequeño, alrededor de estos puntos específicos. ¿Es cierto que la recogida $\{\gamma_j\}$ genera $H_1^s(X)$ ?

Answer 1

No, porque estos ciclos son contractibles, es decir, son nulo-homólogos. Sólo hay que dejar que $\epsilon$ encoger a $0$ .