A partir de una wellordering de una multitud innumerable de reales, Bernstein construido un conjunto de reales sin el conjunto perfecto de la propiedad. Mi pregunta es, ¿ un incontable bien ordenándose violar el conjunto perfecto de la propiedad? Equivalentemente, si $W \subset \mathbb{R}^2$ es una buena ordenación de un conjunto de reales, debe $W$ ser delgada?
Respuesta
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Ya que dijo, en un comentario, "puede suponer la elección si es necesario", voy a asumir la elección y la corrección de un buen orden $W$ de todos los reales tales que todos los negativos reales preceder a todos los reales positivos. A continuación, $W$ incluye el conjunto perfecto de $\{(x,y):x<0<y\}$.
Por otro lado, algunos de estos el uso del axioma de elección es necesaria. Es coherente con ZF + DC que cada paquete conjunto de los reales es contable.
