Encontrar las derivadas parciales de una integral dada por $f(x,y) = \int_{y}^{x} \cos (t^2) \ dt$

Question

Me piden que encuentre las derivadas parciales de una integral dada por $f(x,y) = \int_{y}^{x} \cos (t^2) \ dt$ .

Lo que hice fue

\begin{align} f(x,y) &= \int_{y}^{x} \cos (t^2) \ dt\\ \\ \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x} \int_{y}^{x} \cos (t^2) \ dt = \cos (x^2)\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= - \frac{\partial}{\partial y} \int_{x}^{y} \cos (t^2) \ dt = - \cos (y^2)\\ \end{align}

Parece muy similar a lo que hacemos en el cálculo monovariable (Teorema Fundamental del Cálculo parte 1), es decir, sustituir la variable y aplicar la regla de la cadena (que en este caso dará lugar a una multiplicación por $1$ en ambos casos). ¿Puede alguien confirmar mi respuesta?

Answer 1

Sí, su respuesta es correcta. Así de sencillo.

Answer 2

Sí, tus cálculos son correctos. En general, tenga en cuenta: $$\int g(t)dt =G(t)+C \Rightarrow G'(t)=g(t).$$ Por lo tanto: $$f(x,y)=\int_y^x g(t)dt =G(t)\bigg{|}_y^x=G(x)-G(y) \Rightarrow f'_x=\left[G(x)-G(y)\right]'_x=G'(x)=g(x).$$ Consulte aquí para saber más: http://www.mathmistakes.info/facts/CalculusFacts/learn/doi/doi.html