¿Existe un operador de tiempo en la mecánica cuántica?

Question

La pregunta del título ya se ha formulado muchas veces en este sitio, por supuesto. Esto es lo que he encontrado:

1. ¿El tiempo como operador hermitiano en QM? en 2011. La respuesta indica que el tiempo es un parámetro.
2. ¿Existe un observable del tiempo? en 2012. La respuesta de Arnold Neumaier cita estudios en la literatura, y resume muy brevemente la prueba de Pauli de 1958: si un operador de tiempo satisface una RCC con el hamiltoniano, implicaría que el espectro del hamiltoniano es ilimitado por debajo.
3. ¿Por qué no hay un operador para el tiempo en QM? en marzo de 2013. Cerrado como duplicado sin respuesta.
4. ¿Qué son los operadores temporales en la mecánica cuántica? en noviembre de 2013. La respuesta dice confusamente que no hay operador de tiempo, luego describe un operador de tiempo. Luego se cierra como duplicado.
5. ¿Cuál es la forma correcta de tratar a los operadores que tienen "tiempo" en QM? en Feb 2016. La respuesta describe un operador temporal explícito, pero señala que la multiplicación por $t$ no produce un $L^2(\mathbb{R})$ ya que la norma se mantiene en el tiempo.
6. Permítanme también enlazar ¿Por qué la derivada temporal no se considera un operador en la mecánica cuántica? , Por qué $\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ no puede ser considerado como el operador hamiltoniano? , El tiempo en la relatividad especial y la mecánica cuántica y ¿Por qué el principio de incertidumbre de Heisenberg no se plantea en términos de espaciotiempo? que abordan cuestiones ligeramente diferentes, pero contienen debates relacionados.
7. También tenemos Operador de posición en QFT donde Valter Moretti señala que una construcción sensata de operadores de coordenadas en la QFT relativista produce los operadores de Newton-Wigner, pero sólo para las coordenadas espaciales, ya que no existe ninguno para la coordenada temporal por el teorema de Pauli.
8. Y fuera de physics.se, un gran recurso es el sitio web de John Baez, donde tiene una nota La relación de incertidumbre tiempo-energía que menciona que por la Piedra-von Neumann un operador de tiempo que satisfaga una RCC con el hamiltoniano necesitaría que el hamiltoniano tuviera un espectro no limitado.

¿Debería tomarse como respuesta definitiva el teorema de Pauli (que probablemente sea un corolario del teorema de Stone-von Neumann), como se menciona en algunas respuestas? La mayoría de las fuentes parecen estar de acuerdo.

Pero algunas de estas respuestas parecen ignorar un elefante: en una teoría relativista, el tiempo y el espacio se tratan en pie de igualdad. Si hay operadores espaciales, seguramente debe haber un operador temporal. De hecho, algunos de los comentarios de las preguntas anteriores se refieren al capítulo 1 de El libro de Srednicki . Permítanme citar el pasaje correspondiente:

Una [opción para combinar la mecánica cuántica y la relatividad] es degradar la posición de su condición de operador, y convertirla en una etiqueta más, como el tiempo. La otra es promover el tiempo a un operador.

Analicemos primero la segunda opción. Si el tiempo se convierte en un operador, ¿qué utilizamos como parámetro temporal en la ecuación de Schrödinger? Afortunadamente, en las teorías relativistas hay más de una noción de tiempo. Podemos utilizar el tiempo propio de la partícula (el tiempo medido por un reloj que se mueve con ella) como parámetro de tiempo. El tiempo de coordenadas $T$ (el tiempo medido por un reloj estacionario en un marco inercial) es entonces promovido a un operador. En la imagen de Heisenberg (donde el estado del sistema es fijo, pero los operadores son funciones del tiempo que obedecen a las ecuaciones clásicas del movimiento), tendríamos los operadores $X^\mu()$ , donde $X^0 = T$ . La mecánica cuántica relativista puede, en efecto, desarrollarse en esta línea, pero es sorprendentemente complicado hacerlo.

En un párrafo posterior, señala que promover todas las coordenadas a operadores, incluido el tiempo, es exactamente lo que es la teoría de cuerdas, aunque con la complicación adicional de que hay un parámetro más.

Entonces, ¿cómo conciliar estos dos campos? ¿Es el teorema de Pauli incompatible con las consideraciones relativistas? ¿Es realmente un problema que el espectro de su hamiltoniano no esté acotado por debajo? ¿Por qué no existe un operador de Newton-Wigner semejante al tiempo? ¿Existe de hecho una teoría cuántica relativista que incluya un operador cuyos valores propios sean coordenadas temporales?

Me parece que las respuestas existentes en el sitio no abordan esta cuestión, así que espero algunas respuestas nuevas que lo contemplen desde esa perspectiva.

Answer 1

Basta con abrir cualquier texto sobre cuerdas en el que se hable de la partícula puntual relativista.

http://arxiv.org/abs/0908.0333 - Sección 1, por ejemplo o Green, Schwartz, Witten Volumen 1

Los chascarrillos:

1) El tiempo se puede introducir como un operador, pero hay que introducir un parámetro de "tiempo propio" con el que el sistema evoluciona. Al hacer esto, se introduce una redundancia de calibre que debe tenerse en cuenta al hacer la integral de trayectoria

2) El hamiltoniano de tiempo propio desaparece. Así que todo lo que dice la "ecuación de Schroedinger" es que las funciones de onda no dependen del tiempo propio.

3) El momento canónico que cuantifica $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}^\mu} \rightarrow -i \partial_\mu$ no son independientes: $p^2 + m^2 = 0$

4) Imponiendo esa restricción a la función de onda se obtiene la ecuación de Klein-Gordan. Si intentas resolverla obtienes soluciones de "energía negativa". Este es el problema del espectro no limitado. La interpretación correcta es que estos modos representan "antipartículas": soluciones de energía positiva que viajan hacia atrás en el tiempo.

¿Es sorprendente esta última parte? No lo creo. Exigiste un formalismo que tratara el tiempo y el espacio por igual y obtuviste soluciones que pueden viajar hacia adelante y hacia atrás en el espacio. Parece razonable esperar que obtengas cosas que viajen hacia adelante y hacia atrás en el tiempo. Esto no te permite romper la causalidad. De hecho esta es una característica de la relatividad y eliminarla rompe la causalidad.

A partir de aquí se podría hacer lo mismo con las partículas con espín o empezar a incluir las interacciones, pero, sinceramente, el formalismo de una sola partícula no es tan útil para describir las interacciones. La física exige una descripción de muchas partículas/campos para describir las interacciones. Por supuesto, podrás recuperar esto, y la mecánica cuántica no relativista, en los límites apropiados.

Answer 2

Esta es una de las preguntas abiertas en Física.

J.S. Bell pensaba que había un choque fundamental en la orientación entre la QM ordinaria y la relatividad. Intentaré explicar su opinión.

Toda la orientación fundamental de la Mecánica Cuántica es no relativista. Aunque, obviamente, la MQ puede hacerse relativista, va a contracorriente hacerlo, porque todo el concepto de medición, tal como se desarrolla en la MQ normal, se desmorona en la MQ relativista. Y una de las razones por las que lo hace es que en la QM ordinaria no hay un operador de tiempo, el tiempo no es un observable que se mida en el mismo sentido que la posición. Sin embargo, como tú y otros han señalado, en una teoría verdaderamente relativista, el tiempo no debería ser tratado de forma diferente a la posición.

Supongo que Srednicki simplemente se ha dado cuenta de este problema y ha pedido una respuesta. Este problema sigue sin resolverse. Hay una insatisfacción general con los operadores de Newton-Wigner por varias razones, y la teoría relativista de la medición cuántica no está tan bien desarrollada como la teoría no relativista.

Es notable que la QFT, la forma más aceptada y útil de unificar la relatividad y las teorías cuánticas, realmente no posee la misma estructura lógica que la QM ordinaria: los campos cuánticos se describen mediante funciones en el espacio-tiempo en lugar de como funciones de onda de un sistema de muchas partículas en una polarización en un espacio de fase. Esto se debe a toda la diferencia filosófica entre la relatividad y la QM ordinaria: la relatividad otorga una posición privilegiada a las coordenadas espacio-temporales. Pero la QM utiliza el espacio de fase, uno de muy alta dimensión, y entonces escoge la mitad de las variables (por ejemplo, sólo las posiciones de todas las partículas) para sus variables. (La QFT abandona esta técnica de la QM utilizando números de ocupación u operadores en lugar de funciones de onda, pero así se aleja de toda la estructura de la teoría de la medición de la QM ordinaria que implica observables, etc.