Problema de la EDO con una sola función pero con dos argumentos

Question

He intentado resolver la siguiente EDO sin éxito:

$$ \frac{df(x)}{dx} = -x f(x) + 4xf(2x)$$

Incluso he intentado utilizar Maple, pero parece que sólo acepta las EDO que son función del mismo argumento (por ejemplo, f(x) no f(2x)).

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Me temo que se trata de un tipo de Ecuación Diferencial Funcional, un tipo de ecuaciones diferenciales notoriamente difícil. La fuente de las dificultades es que sólo conocer una condición inicial no es suficiente para `evolucionar' la función utilizando las ecuaciones diferenciales. Para hacerse una idea de las dificultades, busque "ecuaciones diferenciales de retardo", que en realidad son más fácil que el anterior.

Como ejemplo, mire la ecuación diferencial muy simple \begin{equation} \frac{\text{d} f}{\text{d} x}(x) = f (2x). \end{equation} Supongamos que podemos al menos en una vecindad de $x=0$ ampliar una solución $f(x)$ como una serie de potencias en $x$ es decir, sustituir $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ . Esto da la relación de recurrencia para $a_n$ \begin{equation} (n+1) a_{n+1} = 2^n a_n, \end{equation} que se puede resolver para obtener \begin{equation} a_n = a_0 \frac{2^{\frac{1}{2} n(n-1)}}{\Gamma(1+n)}. \end{equation} Sin embargo, la serie \begin{equation} \sum_{n=0}^\infty a_0 \frac{2^{\frac{1}{2} n(n-1)}}{\Gamma(1+n)} x^n \end{equation} ¡no converge! Por lo tanto, parece que no puede incluso escribir una solución $f(x)$ como una serie de potencias alrededor de $x=0$ .