La situación de un geométricamente abierto universo (es decir, uno con $k=-1$ ) se trata a partir de la página 24 de estas notas de clase .
Para un universo "dominado por la materia" (es decir, uno en el que la densidad energética de la materia es dominante, $\Lambda=0$ ), que parece ser lo que ilustra tu boceto, entonces podemos utilizar $$ a^3 \rho = a_0^3 \rho_0 = \rho_0$$
La primera de Ecuaciones de Friedmann es $$\frac{\dot{a}^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho + \Lambda c^2}{3}, $$ que se convierte (utilizando unidades donde $c=1$ ) $$ \frac{\dot{a}^2 - 1}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3}$$ $$\frac{\dot{a}^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3} + \frac{1}{a^2}$$ $$\dot{a} = \sqrt{\frac{8\pi G \rho_0 a_0^3}{3a} +1}$$
Podemos entonces hacer un cambio de variable a la tiempo de conformación definido por $$\eta = \int^{t}_{0} \frac{dt'}{a(t')}$$ para que $d\eta = dt/a$ y $\dot{a} = a^{-1} da/d\eta$ .
Así, podemos escribir $$\frac{d\eta}{da} = \sqrt{\frac{1}{8\pi G \rho_0 a_0^3 a/3 +a^2}}$$
La solución de esta ecuación diferencial es $$ \eta = \cosh^{-1} \left(\frac{3a}{4\pi G \rho_0} + 1\right) + \eta_0 ,$$ pero $\eta = 0$ cuando $a=0$ Así que $\eta_0 = -\cosh^{-1}(1) = 0$ .
Finalmente, entonces $$ a = \frac{4\pi G \rho_0}{3} \left( \cosh \eta -1 \right), $$ donde $\eta$ es el tiempo de conformación descrito anteriormente.
Utilizando $a d\eta = dt$ también se puede demostrar que $$ t = \frac{4\pi G \rho_0}{3} \left( \sinh \eta - \eta \right)\ .$$
Si $\eta$ es muy grande (es decir, en momentos tardíos), entonces $\cosh \eta\simeq \sinh \eta \simeq \exp(\eta)/2$ y podemos ver que el comportamiento es asintótico a $a = t$ .
Asimismo, si el universo abierto es vacío con $\rho=0$ (y $\Lambda=0$ ) en todo momento, entonces la ecuación de Friedmann se convierte simplemente en $$ \dot{a} = 1$$ y $a = t$ .
