Me motivó mi pregunta que Encuentra el interior y la clausura de estos conjuntos (Intersección entre dos espacios topológicos)
Sea el conjunto $X$ y hay dos espacios topológicos diferentes $(X, T_1)$ y $(X,T_2)$ en un conjunto $X$
Tengo curiosidad sobre si los conjuntos abiertos o cerrados en $(X,T_1 \cup T_2)$ y $(X,T_1 \cap T_2)$ respectivamente.
Así que llegué a la conclusión de que la forma de esos es la siguiente.
- $(X,T_1 \cup T_2)$ caso (Digamos que $T_1 \cup T_2$ es un espacio topológico)
$(1)$ Conjunto abierto $G$ en el $T_1 \cup T_2$ $\iff$ $G$ es un conjunto abierto en $T_1$ o $T_2$
Por lo tanto, podemos saber que todos los conjuntos abiertos en $T_1$ y $T_2$ son sub-bases del $(X,T_1 \cup T_2)$.
$(2)$ Conjunto cerrado $F$ en el $T_1 \cup T_2$ $\iff$ $F$ es un conjunto cerrado en $T_1$ o $T_2$
- $(X,T_1 \cap T_2)$ caso
$(3)$ Conjunto abierto $G$ en el $T_1 \cap T_2$ $\iff$ $G$ es un conjunto abierto simultáneamente en $T_1$ y $T_2$
$(4)$ Conjunto cerrado $F$ en el $T_1 \cap T_2$ $\iff$ $F$ es un conjunto cerrado simultáneamente en $T_1$ y $T_2$
Entonces, mi pregunta es ¿Son correctas mis conclusiones $(1)$~$(4)$? Tengo un poco de confianza en que mi suposición es correcta.
Cualquier consejo y respuesta siempre son bienvenidos.
p.s.) Cuando vean mi publicación vinculada arriba, a pesar de mi suposición, cometí un grave error con respecto al conjunto abierto del $T_1 \cup T_2$ para el $T_1 \cap T_2$.
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Estoy un poco confundido/a por tu tercera oración. La unión de dos topologías no necesariamente es una topología.
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Err... @AlbertoTakase, agrego más condiciones para el caso de unión
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Gracias por aclarar eso. He editado mi respuesta para reflejar esto.