Diferencia entre unión e intersección entre dos topologías.

Question

Me motivó mi pregunta que Encuentra el interior y la clausura de estos conjuntos (Intersección entre dos espacios topológicos)

Sea el conjunto $X$ y hay dos espacios topológicos diferentes $(X, T_1)$ y $(X,T_2)$ en un conjunto $X$

Tengo curiosidad sobre si los conjuntos abiertos o cerrados en $(X,T_1 \cup T_2)$ y $(X,T_1 \cap T_2)$ respectivamente.

Así que llegué a la conclusión de que la forma de esos es la siguiente.

• $(X,T_1 \cup T_2)$ caso (Digamos que $T_1 \cup T_2$ es un espacio topológico)

$(1)$ Conjunto abierto $G$ en el $T_1 \cup T_2$ $\iff$ $G$ es un conjunto abierto en $T_1$ o $T_2$

Por lo tanto, podemos saber que todos los conjuntos abiertos en $T_1$ y $T_2$ son sub-bases del $(X,T_1 \cup T_2)$.

$(2)$ Conjunto cerrado $F$ en el $T_1 \cup T_2$ $\iff$ $F$ es un conjunto cerrado en $T_1$ o $T_2$

• $(X,T_1 \cap T_2)$ caso

$(3)$ Conjunto abierto $G$ en el $T_1 \cap T_2$ $\iff$ $G$ es un conjunto abierto simultáneamente en $T_1$ y $T_2$

$(4)$ Conjunto cerrado $F$ en el $T_1 \cap T_2$ $\iff$ $F$ es un conjunto cerrado simultáneamente en $T_1$ y $T_2$

Entonces, mi pregunta es ¿Son correctas mis conclusiones $(1)$~$(4)$? Tengo un poco de confianza en que mi suposición es correcta.

Cualquier consejo y respuesta siempre son bienvenidos.

p.s.) Cuando vean mi publicación vinculada arriba, a pesar de mi suposición, cometí un grave error con respecto al conjunto abierto del $T_1 \cup T_2$ para el $T_1 \cap T_2$.

Answer 1

Primero, (3) y (4) son correctos. En este momento, (1) y (2) necesitan un parche porque $T_1\cup T_2$ no es necesariamente una topología. Una idea es considerar la topología generada por $T_1\cup T_2$. Si se aplica ese parche, entonces (1) y (2) no son correctos.

EDITAR: Propones que el parche es asumir adicionalmente que $T_1\cup T_2$ es una topología. Esto ocurre 'en la naturaleza' cuando, por ejemplo, $T_1$ es más fino que $T_2$. Si se aplica el parche, entonces (1) y (2) son correctos.