¿Cuántas tarjetas se necesitan para escribir los 61 números (se permite rotar las tarjetas)?

Question

"Hay $10^{61}$ diferentes números de 61 dígitos (donde se permiten los ceros a la izquierda se permiten los ceros a la izquierda). Estos números se escriben en tarjetas. Considera que dos tarjetas son iguales, si una de ellas se puede convertirse en la otra girándola. Por ejemplo, 0016989 sería lo mismo que 6869100 (aquí suponemos que el 0, el 1 y el 8 no cambian con la rotación, mientras que el 9 se convierte en seis, y viceversa).

¿Cuántas tarjetas diferentes hay?"

Estoy atascado trabajando en este problema; aquí están mis pensamientos hasta ahora.

Si tenemos un $2, 3, 4, 5, 7$ que aparezca en cualquier parte del número, no significará nada al voltearlo. Por lo tanto, necesitamos una tarjeta separada para cada uno de estos números.

Hay $5^{61}$ tarjetas con exactamente $0$ de estos dígitos, por lo que necesitamos al menos $10^{61}-5^{61}$ tarjetas para estos números "inamovibles".

Hay $5^{61}$ números que se pueden voltear. Así que podría decir $\frac{5^{61}}{2}$ tarjetas para cubrir cada uno de estos números, pero esto sería incorrecto, ya que algunas de las tarjetas se voltean en el mismo número - por lo que en realidad necesitamos más que esto.

Aquí es donde estoy atascado: ¿cómo enumerar las cartas que se voltean en el mismo número? Cualquier sugerencia o idea es muy apreciada.

EDIT: Me he dado cuenta de que, para las cartas que se voltean en sí mismas, sólo tenemos que considerar los primeros 31 dígitos - el resto está determinado por éstos. Tenemos $5^{30}$ para los primeros 30 dígitos (pueden ser cualquier número "volteable"), entonces el dígito del medio debe ser un $0, 1, 8$ (que no se modificará con el giro). Por lo tanto, hay $5^{30}3$ tarjetas que se voltean en sí mismas - ¿suena correcto?

Answer 1

$0, 1,6, 8,9$ se puede girar.

Así que hay $10^{61}$ números. Y $5^{61}$ los números se pueden poner al revés.

Los números que se pueden voltear para volver a obtener ese mismo número es cuando el número en posición $61$ es el mismo que el número de la posición $1$ al revés, y el número en posición $60$ es el número en la posición $2$ al revés. Y así sucesivamente. Mientras tanto, el número del centro, la posición $31$ debe voltearse a sí mismo es decir, debe ser $0,1$ o $8$ . Así que hay $3*5^{30}$ números que al voltearse serán ellos mismos.

Así que hay $5^{61} - 3*5^{30}$ tarjetas que pueden convertirse en otro número si las ponemos boca abajo. Como una de estas tarjetas representan $2$ números sólo necesitamos la mitad de estos.

Pero necesitamos todo lo demás.

Así que necesitamos $10^{61}- \frac {5^{61}-3*5^{30}}2=$