Integrar $\int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \ dx$

Question

Quiero integrar $$\int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \ dx$$

No tengo ni idea de cómo resolver esto. He probado algunas sustituciones, por ejemplo $x = a\sin u$ , $x=a\tan u$ sin suerte. He probado piezas con $dv = dx, dv = \frac{dx}{\sqrt{a-x}}$ Esto no lleva a ninguna parte.

Se agradecería alguna ayuda. Además, si hay alguna sustitución que se me escapa, sería útil que indicaras por qué esa sustitución en particular parece natural de usar, porque me encuentro haciendo sustituciones "al azar" bastante a menudo.

Answer 1

Sugerencia... sustituye $x=a\cos 2\theta$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\begin{align} \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}&=\frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\\\ &=\frac{a/|a|}{\sqrt{1-(x/a)^2}}+\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \end{align}$$

Utilice la fórmula de la derivada de la función arcoseno para el primer término y utilice la $u$ -sustitución de la segunda.