Punto más lejano y más cercano de la elipse desde un foco utilizando derivadas

Question

Supongamos que tengo una elipse con el eje mayor situado en el eje x y el centro en el origen $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$$ y dos focos en $(-c,0)$ y $(c,0)$ . ¿Cómo puedo demostrar que los puntos más alejados y más cercanos del foco derecho son $(-a,0)$ y $(a,0)$ respectivamente, utilizando las derivadas? He intentado diferenciar esto con respecto a x, $$\frac{1}{a^2}2x + \frac{1}{b^2}2yy' = 0\quad (1)$$

He utilizado la fórmula de la distancia para calcular la distancia $d$ de cada punto $(x,y)$ al foco por $$d^2 = (x-c)^2 +y^2$$ . Diferenciación, $$2dd' =2(x-c) +2yy'$$ Desde $d'=0$ para los dos puntos, $$0 =2(x-c) +2yy'\quad (2)$$ Combinando $(1)$ y $(2)$ $$\frac{1}{a^2}x-\frac{1}{b^2}(x-c)=0$$ Entonces $$x=\frac{-a^2c}{b^2-a^2}$$ . Esto es imposible porque si lo hiciera, entonces $x\ge a$ es decir, $$\frac{-a^2c}{b^2-a^2}\ge a$$ $${-a^2c}\le -ac^2$$ desde $(b^2-a^2)=-c^2<0$ y $a>c$ . ¿Por qué?

Answer 1

Como se señala en los comentarios, $y'$ se vuelve infinito en los puntos que busca, causando sus problemas.

En su lugar, le sugiero que parametrice su elipse como $$\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t \end{cases}, \quad 0 \leq t < 2\pi.$$ De este modo, se evita cualquier problema de diferenciación. Entonces se quiere minimizar $$ d(t)^2 = (a\cos t - c)^2 + (b\sin t)^2. $$ Diferenciar con respecto a $t$ para conseguir \begin{align} 0=2d(t)d'(t) &= 2(a\cos t - c)\cdot(-a\sin t) + 2b\sin t \cdot b\cos t\\ &= -2a^2\sin t \cos t +2ac\sin t + 2b^2\sin t \cos t\\ &= 2\sin t\,(ac-(b^2-a^2)\cos t ). \end{align} Ahora hay que considerar dos casos, a saber $\sin t = 0,$ para que $t = 0$ o $t = \pi$ o $$ \cos t = \frac{ac}{b^2-a^2} = \frac{ac}{c^2} = \frac{a}{c} > 1, $$ que es imposible.

Por último, para decidir si se alcanza el mínimo en $t=0$ o $t=\pi$ , tenga en cuenta que, dado que ambos $a$ y $c$ son positivos, tenemos $$ d(0)^2 = (a\cos 0 - c)^2 + (b\sin 0)^2 = (a-c)^2 < (a+c)^2 = (a\cos \pi - c)^2 + (b\sin \pi)^2 = d(\pi)^2, $$ para que el mínimo se alcance en $t=0$ es decir, en $(x,y) = (a,0).$