¿Es un proceso ARMA(2, 1)?

Question

Estoy desconcertado por una ecuación, $$ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + u_t + \varepsilon_t - \varepsilon_{t-1}, $$ donde $u_t$ y $\varepsilon_t$ son procesos independientes de ruido blanco.

¿Es un proceso ARMA(2, 1)? ¿O el hecho de que haya dos choques en cada paso de tiempo (pero sólo uno arrastrado) cambia esto?

En segundo lugar, ¿puede $\phi_1$ y $\phi_2$ ¿se puede estimar de forma consistente utilizando 2SLS? Pensé que $y_{t-2}$ sería un instrumento válido para $y_{t-1}$ pero luego $y_{t-2}$ es también una variable regresora.

Answer 1

Su modelo $$ (1-\phi_1B-\phi_2B^2)y_t=u_t+(1-B)\epsilon_t \tag{1} $$ es ARMA(2,1) ya que el lado derecho es claramente un proceso MA(1) ya que su función de autocovarianza se corta para rezagos mayores a 1. Por lo tanto, el lado derecho puede ser representado por $$ (1-\theta_1 B)v_t \tag{2} $$
donde $v_t$ es otro proceso de ruido blanco. Igualando la autocovarianza de la parte derecha de (1) a la de (2) en los lag 0 y 1 se obtiene un conjunto de dos ecuaciones no lineales \begin{align} \sigma_u^2+2 \sigma_\epsilon^2 &= \sigma_v^2(1+\theta_1^2) \\ -\sigma_\epsilon^2 &= -\theta_1\sigma_v^2 \end{align} que se puede resolver directamente para $\sigma_v^2$ y $\theta_1$ . Hay dos soluciones. Sólo aquella para la que $|\theta_1|<1$ es invertible y relevante.

Answer 2

Estoy desconcertado por una ecuación, $$ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + u_t + \varepsilon_t - \varepsilon_{t-1}, $$ donde $u_t$ y $\varepsilon_t$ son procesos independientes de ruido blanco.

¿Es un proceso ARMA(2, 1)? ¿O el hecho de que haya dos choques en cada paso de tiempo (pero sólo uno llevado a cabo) cambia esto?

Es posible demostrar que en general

$ARMA(p_1,q_1) + ARMA(p_2,q_2) = ARMA(p_3,q_3)$

ahora, el "ruido" es un caso especial para ARMA. Entonces tu ARMA más el ruido admiten una representación ARMA. Además, el hecho de que en tu caso el coeficiente de la componente MA se imponga a $1$ no es un problema. Puedes obtener algo así:

$u_t + \varepsilon_t = r_t$

$$ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + r_t + \alpha r_{t-1}, $$

En cuanto a los problemas de estimación, creo que el procedimiento ML es una mejor idea.

Answer 3

Para responder a la segunda parte de mi pregunta: utilizando $y_{t-3}$ como instrumento, sí es posible estimar $\phi_1$ y $\phi_2$ consistentemente por 2SLS. Lo he comprobado mediante una simulación por ordenador.