¿Cómo sabemos que el gráfico de una función es una representación precisa de su conjunto de soluciones?

Question

Recientemente empecé a pensar en cómo se relacionan los gráficos con sus funciones. Daba por sentado que, dado una función, podría trazar algunos puntos y tener una idea general de cómo se ve su gráfico. Mi pregunta es ¿cómo sabemos que el gráfico de una función realmente es lo que pensamos que es?

Sé que para cosas como líneas, círculos y cónicas podemos demostrar que todos los puntos en el gráfico satisfacen la ecuación correspondiente, y todas las soluciones a la ecuación caen en el gráfico correspondiente, demostrando así que el gráfico es el gráfico de la ecuación/función. Pero ¿qué pasa con cosas como funciones racionales o trigonométricas? ¿Cómo podemos saber que cada punto en gráficos más generales realmente satisfacen sus funciones? Supongo que tenemos que usar cosas como continuidad y otros principios analíticos, pero todavía estoy un poco confundido. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esencialmente, el gráfico representa la función porque está definida de esa manera. Elegimos identificar la función $f:X \rightarrow Y$ con los puntos $(x,f(x)) \in X \times Y$. Con funciones conocidas como funciones racionales y trigonométricas, simplemente trazamos tantas entradas como sea necesario para ver cómo se ve.

Además, estas funciones, al igual que muchas funciones con las que estamos familiarizados, son continuas y suaves (diferenciables) casi en todas partes, lo que nos proporciona mucha más información sobre su estructura. En general, las funciones son mucho más arbitrarias y, por lo tanto, menos intuitivas.

Un ejemplo es la función de Weierstrass, que es continua pero no suave, y el gráfico siempre será un poco borroso no importa qué tan de cerca lo mires. A pesar de ser algo patológica, en realidad es típica para funciones continuas.

También puedes querer ver la función de Thomae y la función de Dirichlet, las cuales si las representas gráficamente en realidad no parecerían funciones porque no sería evidente que pasan la prueba de la línea vertical. No importa cuánto mires de cerca, nunca sería más fácil distinguirlo. Esto muestra que los gráficos pueden ser menos útiles para ciertos tipos de funciones que para otros.

Answer 2

Por un lado, el gráfico de una función es por definición el conjunto de soluciones de $f$: si $f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ es una función, entonces el gráfico de $f$ es el conjunto de soluciones en el sentido de que es el conjunto

$$\Gamma(f) \equiv \{ \langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^1\;:\; f(x) = y\}$$

Por otro lado, es posible que te estés preguntando sobre un problema práctico: supongamos que te han dado un gráfico, o has estado dibujando un gráfico trazando algunos de sus puntos. Crees que tienes una idea general del gráfico, pero ¿cómo puedes estar seguro? Esta es una pregunta profunda, con algunas buenas respuestas.

La primera parte de la respuesta es que traemos un montón de suposiciones implícitas al leer gráficos. Estas suposiciones son acerca del tipo de funciones que tienen sentido, y que esperamos ver realísticamente en ciertos contextos.

Para propósitos prácticos, una suposición común es que las funciones son continuas e incluso diferenciables/suaves hasta cierto grado. Otras suposiciones incluyen que cualquier función que grafiquemos estará compuesta por componentes familiares y simples como polinomios y funciones trigonométricas.

En un sentido técnico, estas suposiciones pueden no sostenerse: un matemático podría fácilmente definir una función que se parezca a $f(x) =x^2$ para todos los valores de $x$ excepto por una pequeña región donde la función oscila salvajemente. Si graficaras esa función, incluso sobre una amplia región, podrías ser "engañado" para creer que era un cuadrático simple. Un adversario podría introducir arbitrariamente muchas desviaciones que casi seguro pasarías por alto.

Pero en práctica, a menudo estamos graficando algo como el resultado de un proceso físico real, o un modelo matemático idealizado compuesto por funciones simples. En estos casos, tenemos buena razón para suponer que la función se ajusta a nuestras expectativas y no es patológica de manera inesperada. Además, desde otro punto de vista, a menudo tenemos un propósito en mente, y dentro de las tolerancias de nuestra aplicación, puede ser lo suficientemente bueno decir que la función es una parábola, incluso si no lo es del todo. Entonces por ejemplo, si sabes que tu función es suave y has graficado una cantidad razonable de puntos, simplemente puedes unir esos puntos con segmentos de línea, tu gráfico puede que no sea exactamente correcto, pero el error podría estar dentro de la tolerancia para tu aplicación.

La segunda parte de la respuesta es que además de traer suposiciones sobre el tipo de funciones que esperamos ver en nuestra aplicación actual, también a menudo sabemos mucho sobre la función graficada en sí misma. Por ejemplo, podríamos tener una representación en forma cerrada; si la función está construida de funciones elementales, podemos analizarla para determinar de manera simbólica si tiene peculiaridades y dónde podrían estar. Esto es parte de la utilidad de la geometría algebraica. O podríamos saber cómo obtuvimos la función, lo que nos da razón para estar seguros de que se comporta de manera aceptable.

Así es como puedes saber que has obtenido el gráfico correcto incluso cuando solo has trazado unos cuantos de los potencialmente infinitos puntos en él.