¿Cómo sabemos que el gráfico de una función es una representación precisa de su conjunto de soluciones?

Question

Recientemente empecé a pensar en cómo se relacionan los gráficos con sus funciones. Daba por sentado que, dado una función, podía trazar algunos puntos y obtener una idea general de cómo se ve su gráfico. Mi pregunta es ¿cómo sabemos que el gráfico de una función dada es realmente lo que pensamos que es?

Sé que para cosas como líneas, círculos y cónicas podemos demostrar que todos los puntos en el gráfico satisfacen la ecuación correspondiente, y todas las soluciones a la ecuación caen en el gráfico correspondiente, demostrando así que el gráfico es el gráfico de la ecuación/función. Pero ¿qué pasa con cosas como funciones racionales, o funciones trigonométricas? ¿Cómo podemos saber que cada punto en gráficos más generales realmente satisface sus funciones? Supongo que tenemos que usar cosas como continuidad y otros principios analíticos, pero todavía estoy un poco confundido. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esencialmente, el gráfico representa la función porque está definida de esa manera. Elegimos identificar la función $f:X \rightarrow Y$ con los puntos $(x,f(x)) \in X \times Y$. Con funciones conocidas como funciones racionales y trigonométricas, simplemente trazas tantas entradas como necesites para ver cómo se ve.

Además, estas funciones, al igual que muchas funciones con las que estamos familiarizados, son continuas y suaves (diferenciables) casi en todas partes, lo que nos proporciona mucha más información sobre su estructura. En general, las funciones son mucho más arbitrarias y, por lo tanto, menos intuitivas.

Un ejemplo es la función de Weierstrass, que es continua pero no suave y el gráfico siempre será un poco borroso no importa lo cerca que lo observes. A pesar de ser algo patológica, en realidad es típica de las funciones continuas.

También puedes querer mirar la función de Thomae y la función de Dirichlet que, si las graficas, ni siquiera parecerían funciones porque no sería obvio que pasan la prueba de la línea vertical. No importa cuánto te acerques, nunca sería más fácil decirlo. Esto muestra que los gráficos pueden ser menos útiles para ciertos tipos de funciones que para otros.

Answer 2

Por un lado, el gráfico de una función es por definición el conjunto de las soluciones de $f$: si $f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ es una función, entonces el gráfico de $f$ es el conjunto de soluciones en el sentido de que es el conjunto

$$\Gamma(f) \equiv \{ \langle x, y\rangle \in \mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^1\;:\; f(x) = y\}$$

Por otro lado, es posible que estés preguntando sobre un problema práctico: supongamos que te han dado un gráfico, o has estado realizando un bosquejo de un gráfico trazando algunos de sus puntos. Crees que tienes la idea general del gráfico, pero ¿cómo puedes estar seguro? Esta es una pregunta profunda, con algunas buenas respuestas.

La primera parte de la respuesta es que llevamos consigo muchas suposiciones implícitas al leer gráficos. Estas suposiciones son sobre el tipo de funciones que tienen sentido, y que esperamos ver realísticamente en ciertos contextos.

Para fines prácticos, una suposición común es que las funciones son continuas e incluso diferenciables/suaves en diferentes grados. Otras suposiciones incluyen que cualquier función que tracemos estará compuesta de elementos familiares y simples como polinomios y funciones trigonométricas.

En un sentido técnico, estas suposiciones pueden no cumplirse: un matemático fácilmente podría definir una función que se vea como $f(x) =x^2$ para todos los valores de $x$ excepto para una pequeña región donde la función oscila salvajemente. Si trazaste esa función, incluso sobre una amplia región, podrías ser "engañado" creyendo que es una función cuadrática simple. Un adversario podría introducir arbitrariamente muchas desviaciones que probablemente pasarías por alto.

Pero en la práctica, a menudo estamos trazando algo como el resultado de un proceso físico real, o un modelo matemático idealizado compuesto de funciones simples. En estos casos, tenemos buena razón para suponer que la función se ajusta a nuestras expectativas y no es patológica de ninguna manera inesperada. Además, desde otro punto de vista, a menudo tenemos un propósito en mente, y dentro de las tolerancias de nuestra aplicación, puede ser suficientemente bueno decir que la función es una parábola, incluso si no lo es exactamente. Por ejemplo, si sabes que tu función es suave y has trazado un buen número de puntos, simplemente puedes unir esos puntos con segmentos de línea: tu gráfico puede no ser exactamente correcto, pero el error podría estar dentro de la tolerancia para tu aplicación.

La segunda parte de la respuesta es que además de traer suposiciones sobre el tipo de funciones que esperamos ver en nuestra aplicación actual, también a menudo sabemos mucho sobre la función trazada en sí. Por ejemplo, podríamos tener una representación en forma cerrada de ella; si la función está construida con funciones elementales, podemos analizarla para determinar simbólicamente si tiene alguna peculiaridad y dónde podrían estar. Esto es parte de la utilidad de la geometría algebraica. O podríamos saber cómo obtuvimos la función, lo que nos da motivos para estar seguros de que se comporta de manera razonable.

Así es como puedes saber que has obtenido el gráfico correcto incluso cuando solo has trazado algunos de los potencialmente infinitos puntos en él.