La extensión de Cesaro significa

Question

Estoy tratando de extender el resultado de Cesaro Means aquí: http://www.ee.columbia.edu/~vittorio/CesaroMeans.pdf

El autor demostró allí: $\lim_{n\to\infty} a_n = a \implies \lim_{n\to\infty} 1/n \sum_{i=1}^n a_i = a$ .

Quiero extender esto a: $\lim_{n\to\infty} a^{(n)}_n = a \implies \lim_{n\to\infty} 1/n \sum_{i=1}^n a^{(n)}_i = a$ .

Mi intento hasta ahora :

WLOG asume $a=0$ . $$ |1/n \sum_{i=1}^n a^{(n)}_i| \leq 1/n \sum_{i=1}^{n-1} |a^{(n)}_i| + a^{(n)}_n/n $$ $$ \implies |1/n \sum_{i=1}^n a^{(n)}_i| \leq \frac{(n-1) \max_{i=1,\dots,n-1}|a^{(n)}_i| + a^{(n)}_n}{n} $$ Así que estoy atrapado aquí. Esto no es un ejercicio de un libro, así que no estoy seguro de que mi afirmación sea correcta. Si no lo es, ¿cuáles son las suposiciones mínimas que tengo que poner en $a^n_n$ para que esto sea cierto.

Answer 1

No puede ser cierto en general. Pruebe con un ejemplo sencillo como $a_n = 2^{1/n}$ donde $a_n^n \to 2$ .

¿Cree usted que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 2^{n/k} \to 2$ ?

Al menos $n/4$ términos son mayores que $2^4/n$ , $n/8$ términos son mayores que $2^8/n$ etc.