Propiedades de los asociados en un dominio integral (Teoría de anillos)

Question

Me pidieron que mostrara los siguientes tres ejercicios de aplicación para entender el PID es UFD, sin embargo, estoy luchando un poco con el tercero

Dejemos que $a$ y $b$ sean elementos de un dominio integral $R$ . Entonces

(1) $(a) \subseteq (b)$ si y sólo si $b|a$

El ideal principal $(b)$ consiste en todos los múltiplos de $b$ así $a \in (b) \iff b|a$

Así que si $(a) \subseteq (b)$ entonces $a$ está en el ideal $(b)$ así que $b|a$

Para demostrar lo contrario, si $b|a$ entonces $a \in (b)$ lo que implica que todo múltiplo de $a$ también está en $(b)$ Por lo tanto $(a) \subseteq (b) \ QED$

(2) $(a)=(b)$ si y sólo si $b|a$ y $a|b$

$(a)=(b)$ si y sólo si $(a) \subseteq (b)$ y $(b) \subseteq (a)$ así que a partir de 1) $(a) \subseteq (b)$ si y sólo si $b|a$ y $(b) \subseteq (a)$ si y sólo si $a|b \ QED$

(3) $(a) \subsetneq (b)$ si y sólo si $b|a$ y $b$ no es un asociado de $a$

(aquí es donde estoy un poco perdido, pero tengo la pista de que si puedo demostrar que $a|b$ y $b|a$ si y sólo si $b$ es un asociado de $a$ y luego usar 1) y 2) entonces debería ser posible.

Answer 1

(1) Supongamos $(a)\subseteq(b)$ en particular $a\in(b)$ Así que $b\mid a$ . Por el contrario, supongamos que $b\mid a$ con $a=bx$ ; si $r=as\in(a)$ entonces $r=bxs$ y por lo tanto $r\in(b)$ . Por lo tanto, $(a)\subseteq(b)$ .

Tu idea es buena, pero debería estar redactada con más detalle.

(2) Esto se deduce de (1); de hecho $(a)=(b)$ es lo mismo que " $(a)\subseteq(b)$ y $(b)\subseteq(a)$ ". Así, $b\mid a$ y $a\mid b$ .

Nota. La condición " $b\mid a$ y $a\mid b$ " implica $a$ y $b$ son asociados. De hecho, $b=ax$ y $a=by$ para algunos $x$ y $y$ . Por lo tanto, $a=axy$ y así $a(xy-1)=0$ . Desde $R$ es un dominio, ya sea $a=0$ (y así también $b=0$ ) o $xy=1$ , lo que implica $x$ es invertible.

Por el contrario, si $a$ y $b$ se asocian, entonces $(a)=(b)$ debido a (1).

(3) Se deduce de (2) y de la nota: si $(a)\subsetneq(b)$ entonces $b\mid a$ Pero $b$ no se puede asociar a $a$ Si no es así $(a)=(b)$ . Deberías ser capaz de hacer lo contrario.