En el libro Teoría de campos conformes (autores: Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Senechal), un campo $f(z)$ es primario si se transforma como $$f(z) \rightarrow g(\omega)=\left( \frac{d\omega}{dz}\right)^{-h}f(z)$$ bajo una transformación conforme infinitesimal $z \rightarrow \omega(z)$ . El significado físico de esta definición no está claro para mí. Por ejemplo, ¿cuál es la diferencia entre un campo primario y un campo secundario? ¿Y qué importancia tiene el hecho de que el tensor de energía-momento no sea un campo primario?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
De hecho, los campos(operadores) primarios a veces se llaman también campo(operadores) tensorial. El nombre se justifica porque se transforman de la misma manera que un tensor se transforma bajo la transformación de coordenadas.
Para ver eso, miramos la regla de transformación de los campos primarios, que por su definición, es $$\mathcal{O}'(z',\bar{z}')=(\partial_z z')^{-h}(\partial_{\bar{z}}\bar{z}')^{-\bar{h}}\mathcal{O}(z,\bar{z}).$$ Compárese con las reglas de transformación de un tensor con $n$ índices inferiores. $$T_{u_1u_2\dots u_n}'=\frac{\partial x^{v_1}}{\partial x'^{u_1} }\frac{\partial x^{v_2}}{\partial x'^{u_2}}\dots\frac{\partial x^{v_n}}{\partial x'^{u_n} }T_{v_1v_2\dots v_n}.$$ Obsérvese que en el caso de la transformación conforme 2d, en términos de $z,\bar{z}$ coordenadas, $z'$ es sólo una función de $z$ . Así, $\frac{\partial x^{v_i}}{\partial x'^{u_i}}$ es distinto de cero sólo cuando $v_i=u_i$ . En otras palabras, varios $\frac{\partial x^{v_i}}{\partial x^{u_i}}$ son $\frac{\partial z}{\partial z'}$ o $\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}'}$ . Por lo tanto, podemos escribir $\frac{\partial x^{v_1}}{\partial x'^{u_1} }\frac{\partial x^{v_2}}{\partial x'^{u_2}}\dots\frac{\partial x^{v_n}}{\partial x'^{u_n} }$ como $(\frac{\partial z}{\partial z'})^h(\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}'})^{\bar{h}}$ o con $(\frac{\partial z'}{\partial z})^{-h}(\frac{\partial \bar{z}'}{\partial \bar{z}})^{-\bar{h}}$ con $h+\bar{h}=n$ .
Así, acabamos de demostrar que $\mathcal{O}(z,\bar{z})$ obedece a la misma regla de transformación que un (componente de un) tensor, por lo que se denomina campo tensorial.
Por último, la consecuencia directa de $T_{zz}$ al no ser un campo primario es que no se transforma como un tensor. Además, al no transformarse como tensor, su OPE puede tener un $z^{-4}$ que está relacionado con la energía de Casimir para una CFT unitaria.
