Expresado como un solo logaritmo

Question

Tengo la ecuación:

$$\log_{10}(x^2 - 16) - 3\log_{10}(x + 4) + 2\log_{10} x$$

Busco expresar esto como un solo logaritmo. Se me ocurrió

$$\log_{10}(x^2 - 16) - \log_{10}(x + 4)^3 + \log_{10} x^2$$

entonces

$$\log_{10} \left(\frac{x^2(x^2 - 16)}{(x + 4)^3}\right) $$
Por favor, perdóname si me he equivocado en el número de paréntesis.

Esto se parece a los resultados de la mayoría de los ejemplos, ¿crees que es necesaria una mayor simplificación?

Answer 1

¡Tu razonamiento es absolutamente correcto! Sin embargo, hay una última simplificación que puedes hacer: a la fracción $$\frac{x^2(x^2 - 16)}{(x + 4)^3}$$ mismo. Sugerencia: ¿Puede usted factorizar $x^2-16$ ?

Answer 2

No estoy seguro de lo que quieres decir cuando preguntas si una mayor simplificación es requerido pero es posible. Tus cálculos son correctos; si notas que $$(x^2 - 16) = (x+4)(x-4),$$ entonces puedes simplificar tu última expresión, $$\log_{10}\left(\frac{x^2(x^2 - 16)}{(x + 4)^3}\right),$$ a $$\log_{10}\left(\frac{x^2(x - 4)}{(x + 4)^2}\right).$$ Sin embargo, no es una gran simplificación.