Convergencia de medidas y teoría del potencial

Question

La siguiente implicación debería ser válida: $\mu_{n}, \mu$ son medidas positivas cuyos soportes están incluidos en un conjunto compacto $K\subset \mathbb{C}$ y $$\lim_{n\to\infty}U^{\mu_n}(z)=U^{\mu}(z)$$ uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb{C}\setminus K$ , donde $$ U^{\nu}(z)=\int_{\mathbb{C}}\log|z-x|d\nu(x)$$ es el potencial logarítmico de la medida $\nu$ . Entonces $\mu_{n}\to\mu$ , para $n\to\infty$ en los débiles $^\star$ topología.

He leído el documento donde se utiliza esta implicación. Los autores sólo afirman que es un resultado estándar de la teoría del potencial. Desgraciadamente, no tengo una formación sólida en la teoría del potencial y no puedo ver por qué la afirmación es cierta por mí mismo.

Aunque he consultado varios libros dedicados íntegramente a la teoría del potencial (Saff y Totik, Ransford, Landkof), no he encontrado ningún lugar en el que se aborde directamente esta implicación (como una proposición independiente, por ejemplo).

¿Puede alguien, que conozca el tema, dar alguna referencia relevante? Muchas gracias.

Answer 1

No soy un teórico del potencial, así que estoy seguro de que alguien más puede dar una respuesta mejor que esta. Para mí, la mayoría de las cosas básicas de la teoría del potencial que surgen las puedo entender usando el capítulo I del libro (¡gratis!) Geometría analítica y diferencial compleja por Demailly.

Pero volviendo a la afirmación que intentas entender. Creo que la idea básica es ésta. La función $U^{\mu}$ y $U^{\mu_n}$ son potenciales de sus correspondientes medidas, lo que significa que al tomar su laplaciano (convenientemente escalado), se obtiene su medida: $$\Delta U^{\mu} = \mu$$ donde esta igualdad es en el sentido de las distribuciones. Así, supongamos que $U^{\mu_n}\to U^\mu$ uniformemente en los compactos (o incluso creo que en $L^1_{loc}$ ). Entonces, si $\phi$ es una función de prueba (compacta y suave), se obtiene que $$\int \phi\,d\mu_n = \int \phi\,d(\Delta U^{\mu_n}) := \int U^{\mu_n} \Delta\phi\,dx\,dy.$$ Desde $U^{\mu_n}\to U^\mu$ uniformemente en los compactos (y por lo tanto en particular en el soporte de $\phi$ se obtiene $$\int U^{\mu_n}\Delta\phi\,dx\,dy\to \int U^\mu \Delta\phi\,dx\,dy := \int\phi\,d(\Delta U^\mu) = \int \phi\,d\mu$$ Esto demuestra la convergencia $$\int \phi\,d\mu_n\to \int \phi\,d\mu$$ para toda función suave compactamente soportada $\phi$ que debería ser equivalente a la convergencia débil $\mu_n\to \mu$ .