Una propiedad de los procesos de Poisson compuestos

Question

Dejemos que $S_{N}=\sum_{i=1}^{N}X_{i}$ , donde $X_{i}$ son variables aleatorias i.i.d con pdf $f$ y distribución $F$ y $N$ es una v.r. que sigue a una Poisson( $\lambda$ ) que es independiente del $X_{i}$ 's. Sea $Y$ sea una v.r. con distribución $F$ e independiente de $S_{N}$ . Sea $h$ sea una función real medible.

Necesito demostrar que $$E[S_{N}h(S_{N})]=\lambda E[Yh(S_{N}+Y)]$$

He intentado calcular el lado derecho condicionando a $N=k$ digamos, pero no consigo nada. También lo intento empezando por el lado izquierdo pero no sé cómo conseguir la r.v. $Y$ en la fórmula.

Si alguien pudiera ayudarme le estaría muy agradecido.

Answer 1

$\newcommand{\e}{\operatorname E}$ En el caso especial de que $\Pr(X_i=1)=1,$ la proposición dice $$ \e(Nh(N)) = \lambda \e(h(N+1)). $$ Esto se llama el Lemma de Robbins, en honor a Herbert Robbins, que lo introdujo en la década de 1950 para su uso en los métodos empíricos de Bayes en estadística.

\begin{align} & \e(S_N h(S_N)) \\[8pt] = {} & \e(\e(S_Nh(S_N)\mid N)) \\[8pt] = {} & \sum_{n=1}^\infty \e(S_n h(S_n))\Pr(N=n) \end{align} (No necesitamos un término para $n=0,$ ya que en ese caso el término es $0.$ ) \begin{align} = {} & \sum_{n=1}^\infty \e(S_n h(S_n)) \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \\[8pt] = {} & \sum_{n=0}^\infty \e(S_{n+1} h(S_{n+1})) \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^{n+1}}{(n+1)!} \\[8pt] = {} & \lambda \sum_{n=0}^\infty \e\left(\frac{S_{n+1} h(S_{n+1})}{n+1} \right) \cdot\frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} \\[8pt] = {} & \lambda \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=1}^{n+1} \e\left( \frac{X_k h(S_{n+1})}{n+1} \right) \cdot\frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} \\[8pt] = {} & \lambda \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=1}^{n+1} \e\left( \frac{X_{n+1} h(S_{n+1})}{n+1} \right) \cdot\frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} \end{align} Este último paso se mantiene ya que cada término de esta suma tiene el mismo valor esperado. Como hay $n+1$ términos, la suma es $n+1$ veces el valor de cualquier término, por lo que obtenemos \begin{align} = {} & \lambda \sum_{n=0}^\infty \e\left( X_{n+1} h(S_{n+1}) \right) \cdot\frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!} \end{align} ¿Puedes terminar esto en unos segundos?