Aplicaciones de homotopy grupos de esferas

Question

El estudio de la homotopy grupos de esferas $\pi_i(S^n)$ es un tema importante en topología algebraica. Se sabe por ejemplo que casi todos ellos son grupos finitos. Algunas son explícitamente conocido. Hay un rango estable' de índices que uno entiende mejor que la inestabilidad de la parte.

Yo creo que hay una analogía (tener cuidado con esa palabra) a la distribución de los números primos: parece que no existe un patrón general, pero nadie ha encontrado todavía. Es una construcción producción de una lista infinita de números (o grupos), pero los números no fueron puestas en él. Una cosa que siempre me fascina.

La desconocida primer patrón conduce a las aplicaciones de la criptografía, por ejemplo. Hay aplicaciones similares de los conocimientos (o no-conocimiento) de la homotopy grupos de esferas? Hay aplicaciones para real o de ciencias naturales hace un estudio de la homotopy grupos de esferas sólo por su belleza inherente?

Answer 1

Wikipedia ya da una lista de algunos ejemplos.

Answer 2

Un par de comentarios sobre las aplicaciones que no están incluidos en el anterior artículo de la Wikipedia.

Yo no conozco a ninguna de las aplicaciones a la criptografía. La mayoría de los criptosistemas requieren una cierta clase de una manera sin pérdida de la función y no está claro cómo hacerlo con la complejidad de la homotopy grupos de esferas. Por otra parte, la homotopy-grupos de esferas que tienen una gran cantidad de redundancia, hay muchos patrones.

Hay trabajo por Fred Cohen, Jie Wu y Juan Berrick es donde se relacionan Brunnian trenza de grupos a la homotopy-grupos de la 2-esfera. No está claro si tiene cualquier criptosistema potencial, pero es un aspecto interesante de cómo la homotopy-grupos de una esfera que aparecen de forma natural en lo que de otra manera podría parecer a ser completamente distinto tema.

Homotopy grupos de esferas y ortogonal grupos aparecen de forma natural en Haefliger a trabajar en la estructura del grupo (grupo de operación dado por conectar suma) en la isotopía-clases de suave incrustaciones $S^j \to S^n$. Supongo que no debe ser visto como una sorpresa. Por otra parte, no es claro para mí que esto es siempre la manera más eficiente de computación de estos grupos. Pero creo que todas las técnicas que yo sepa, en última instancia, requerirá de una entrada en forma de cálculos de algunos relativamente simple homotopy grupos de esferas.

Creo que una de la más natural de las aplicaciones de homotopy grupos de esferas, Stiefel colectores y ortogonal grupos sería la obstrucción de la teoría de las construcciones. Cosas como Whitney clases, Stiefel-Whitney clases y en general de las obstrucciones de las secciones de paquetes. No tanto la construcción de las clases individuales, más justa la comprensión del método general.

Answer 3

En muchos problemas físicos S^n simetría grouo es importante interno o incluso para grup n física simetría de la tre del sistema. Para este sistema es conveniente para comprobar invariantes topológicos, que se elevan a cantidades conservadas durante la evolución. El artículo de la wikipedia dice sobre solitones:

Topológico, soliton, o topológico defecto, es cualquier solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que es estable frente a la decadencia a la "trivial solución". Soliton estabilidad es debido a restricciones topológicas, en lugar de integrabilidad de la ecuaciones de campo. Las limitaciones que surgen casi siempre porque el diferencial las ecuaciones deben obedecer a un conjunto de límites condiciones, y el límite tiene un no triviales homotopy grupo, conservado por las ecuaciones diferenciales.

Si simetría interna es la simetría de la esfera, a continuación, el número de espiras es uno de los ejemplos de tales bienes ( y de hecho es el más sencillo). Usted puede encontrar tales criaturas ( solitones topológicos) no sólo en la teoría de cuerdas ( demasiado especulativo de física muy interesante y genial para las matemáticas), pero también en un cristal líquido de la física, estado sólido de la teoría ( en los modelos de Ising por ejemplo), etc. Usted puede incluso hacer por sí Mismo modelo de dicho sistema físico en el hogar por el encolado de los partidos o se pega a un hilo y torsión tales "cadena". Este modelo es usado en la demostración de la física, y que está relacionado con la condición Sine-Gordon ecuación. el que aparece en la teoría de la red de uniones Josephson fro ejemplo.