Matriz del Hessian asimétrica

Question

¿Hay alguna funciones, $f: U\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, con la matriz del Hessian es asimétrica en un conjunto grande (digamos con medida positiva)?

Estoy familiarizado con ejemplos de las funciones parciales mixtas no es iguales en un punto, y sé también que si $f$ es suerte de tener un segundo derivado débil $D ^ 2f$, entonces $D ^ 2 f$ es simétrica casi por todas partes.

Answer 1

Me puede dar una prueba de la siguiente instrucción.

Vamos a $U\subseteq \mathbb{R}^2$ de ser abierto, y $f\colon U\to\mathbb{R}$ tales que $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ y $f_{yy}$ son bien definidos en algunos Lebesgue medibles $A\subseteq U$. Entonces, $f_{xy}=f_{yx}$ casi en todas partes en $Un$.

[Nota: Esto es después de ver Grigory la respuesta. La declaración aquí es un poco más fuerte que la declaración (1) debido a Tolstov en su respuesta. No lo he hecho, hasta ahora, ha sido capaz de ver la traducción de ese papel, así que no estoy seguro de si su argumento en realidad da lo mismo.]

De hecho, se puede demostrar que $$f_{xy}=f_{yx}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h^2}\left(f(x+h,y+h)+f(x,y)-f(x+h,y)-f(x,y+h)\right)\ \ {\rm(1)}$$ en casi todas partes en $Un$, donde el límite es de entenderse en el sentido de convergencia local en la medida (funciones $g_{(h)}$ tienden a un límite de $g$ localmente en la medida de si la medida de $\{x\in S\colon\vert g_{(h)}(x)-g(x)\vert > \epsilon\}$ tiende a cero a medida que $h\to0$, por cada $\epsilon > 0$ y $S\subseteq$ finito de medida).

En primer lugar, hay algunos problemas técnicos relacionados con la mensurabilidad. Sin embargo, como $f_x$ y $f_y$ se asume que existen en $A$, entonces $f$ es continua a lo largo de la intersección de $A$ con líneas horizontales y verticales, lo que implica que su restricción a $A$ es Lebesgue medible. Entonces, todas las derivadas parciales también deben ser medibles cuando se limita a $A$. Por Lusin del teorema, se puede reducir al caso en que todas las derivadas parciales son continuas cuando se limita a $A$. También, sin pérdida de generalidad, toma $A$ ser acotada.

Fijar un $\epsilon > 0$. Entonces, para cualquier $\delta > 0$, vamos a $A_\delta$ el conjunto de $(x,y)\in A$, tal que

• $\left\vert f_{yy}(x+h,y)-f_{yy}(x,y)\right\vert\le\epsilon$ para todo $\vert h\vert \le\delta$ $(x+h,y)\in A$.
• $\left\vert f_y(x+h,y)-f_y(x,y)-f_{yx}(x,y)h\right\vert\le\epsilon\vert h\vert$ para todo $\vert h\vert\le\delta$ $(x+h,y)\in A$.
• $\left\vert f(x,y+h)-f(x,y)-f_y(x,y)h-\frac12f_{yy}(x,y)h^2\right\vert\le\epsilon h^2$ para todo $\vert h\vert\le\delta$ $(x,y+h)\in A$.

Este es Lebesgue medible y de la existencia y la continuidad de las derivadas parciales restringido a $Un$ implica que $A_\delta$ aumentos $$ $\delta$ disminuye a cero. Por la monotonía de la convergencia, la medida de $A\setminus A_\delta$ disminuye a cero.

Ahora, elija un valor distinto de cero $\vert h\vert\le\delta$. Si $(x,y)$, $(x+h,y)$, $(x,y+h)$, $(x+h,y+h)$ son todos en $A_\delta$ entonces,

$$f(x+h,y+h)-f(x+h,y)-f_y(x+h,y)-h\frac12f_{yy}(x+h,y)h^2$$ $$f(x,y+h)+f(x,y)+f_y(x,y)h+\frac12f_{yy}(x,y)h^2$$ $$\frac12f_{yy}(x+h,y)h^2-\frac12f_{yy}(x,y)h^2$$ $$f_y(x+h,y)h-f_y(x,y)h-f_{yx}(x,y)h^2$$

son todos delimitada por $\epsilon h^2$. Añadiendo da $$\left\vert f(x+h,y+h)+f(x,y)-f(x+h,y)-f(x,y+h)-f_{yx}(x,y)h^2\right\vert\le4\epsilon h^2.\ \ {\rm(2)}$$

Ahora, elegir una secuencia de números reales distintos de cero $h_n\to0$. Es una norma que, por cualquier integrable $g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, entonces $g(x+h_n,y)$, $g(x,y+h_n)$ y $g(x+h_n,y+h_n)$ todos tienden a $g(x,y)$ en $L^1$ (esto es fácil de funciones continuas de soporte compacto, y se extiende a todas las funciones integrables como estos son densos en $L^1$). La aplicación de este donde $g$ es el indicador de $A_\delta$ muestra que el conjunto de $(x,y)\in A_\delta$ para que uno de $(x+h_n,y)$, $(x,y+h_n)$ o $(x+h_n,y+h_n)$ no es en $A_\delta$ tiene una medida de la disminución a cero. Así, por $\vert h\vert$ elegido arbitrariamente pequeño, la desigualdad (2) se aplica en todas partes en $A_\delta$ fuera de un conjunto de arbitrariamente pequeña medida. Dejar que $\delta$ disminuir a cero, (2) se aplica en todas partes en $Un$ fuera de un conjunto de arbitrariamente pequeña medida, por pequeña $\vert h\vert$. Como $\epsilon > 0$ es arbitrario, esto es equivalente al límite en (1) la celebración de medición y equivale a $f_{yx}$ en casi todas partes en $Un$. Por último, el intercambio de $x$ y $y$ en el argumento anterior muestra que el límite en (1) es también igual a $f_{xy}$.

Answer 2

Parece que el problema fue resuelto por los G. P. Tolstov en 1949.

1. Si $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ tiene todo mezclado derivados de segundo orden en todas partes, entonces $f_{xy}=f_{yx}$ en casi todas partes. Referencia: G. P. Tolstov, "En derivadas parciales", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 13:5 (1949), 425-446 (MR0031544).
   
   Traducción al inglés disponible como Amer. De matemáticas. Soc. La traducción no. 69 (1952), 30pp. (MR0047758).

2. Existe una función $f\colon\mathbb [0,1]^2\to\mathbb R$ s.t. $f_{xy}$ y $f_{yx}$ existen en todas partes, pero $f_{xy}-f_{yx}$ es la función característica de un conjunto de medida positiva (proposición I); también existe una función $f$ como sobre.t. $f_{xy}\ne f_{yx}$ en casi todas partes (propuesta II). Referencia: G. P. Tolstov, "En la mezcla derivada segunda", Mat. Sb. (N. S.), 24(66):1 (1949), 27-51 (MR0029971).

---

(Muy aproximado) resumen de la prueba de la proposición I de la segunda papel.

1. Elegir alguna variante de (gruesa) conjunto de Cantor $P=\bigcap\limits_n P_n$ (cada uno $P_n$ es una unión de $2^n$ intervalos).

2. Deje de $f_n$ ser una secuencia de continuo PL-funciones s.t. $f'_n|_{P_n}=1$ y $f'_n\le 0$ en $I\setminus P_n$.

3. Elegir unos $C^1$de suavizado de $\phi_n$ de $f_n$ s.t. $\phi'_n|_P=1$, $|\phi_n|<2^{1-n}$ (+algunos otros de los límites de la página 31).

4. Definir $\psi_0=x-\phi_0$, $\psi_n=\phi_n-\phi_{n-1}$. Tenga en cuenta que $\psi'_n|_P=0$ (+algunos otros límites (11) a partir de la página 32).

5. Definir $F(x,y)=\sum \phi_n(x)\psi_n(y)$.

6. $F_x=\sum\phi'(x)\phi(y)$ (ya que la convergencia es uniforme - que se basa en la delicada elección de suavizado, AFAICS). Por lo que $F_x|_{I\times P}=\sum\psi(y)=y$ y $F_{xy}|_{P\times P}=1$.

7. $F_y=\sum\phi(x)\phi'(y)$ (-//-). Por lo que $F_y|_{P\times I}=0$ y $F_{yx}|_{P\times P}=0$.

8. $F_{xy}$ y $F_{yx}$ existir en toda la $I^2$... por alguna razón.

Algo como eso.