La domesticación topológica más allá de la topología de Gandy-Harrington

Question

La topología Gandy-Harrington en $\omega^\omega$ es la topología generada por todas las lightface $\Sigma^1_1$ conjuntos; es decir, todos los conjuntos que son imágenes en sentido continuo de $\omega^\omega$ .

Aunque esta topología es definitivamente menos bonita que la estándar -por ejemplo, es no metrizable- satisface la fuerte propiedad de Choquet : es la afirmación de que el jugador I tiene una estrategia ganadora en un determinado juego topológico. A partir de la propiedad fuerte de Choquet podemos deducir muchos resultados cuya demostración se derivaría fácilmente de la metrizabilidad, por lo que, en cierto sentido, la topología de Gandy-Harrington es "suficientemente cercana" a la metrizabilidad. Un resultado especialmente bueno que podemos demostrar es: si $A$ es una cara ligera no vacía $\Sigma^1_1$ subconjunto de $\omega^\omega$ entonces $A$ tiene un elemento $x$ tal que $\mathcal{O}^x\equiv_T\mathcal{O}\oplus x$ .

Una pregunta natural ahora es preguntar sobre las topologías generadas por conjuntos de caras ligeras más arriba en la jerarquía proyectiva; por ejemplo, dejemos que $\tau_k$ sea la topología en $\omega^\omega$ generado por lightface $\Sigma^1_k$ conjuntos. Y de forma similar, podemos definir $\tau_\Gamma$ para cualquier clase de punto $\Gamma$ (aunque probablemente sólo nos interesen, por ejemplo, las clases de puntos de Spector). Por desgracia, para $k>1$ la propiedad fuerte de Choquet falla mucho en $\tau_k$ ¡!

Mi pregunta es:

¿Existe un debilitamiento de la propiedad fuerte de Choquet que se mantiene para $\tau_2$ ? (O más generalmente para $\tau_\Gamma$ para una clase de punto bastante agradable $\Gamma$ .)

En este sentido, para un verdadero $x$ dejar $\mathcal{O}_2^x$ sea el conjunto de $x$ -códigos computables para los no vacíos $\Sigma^1_2$ conjuntos, y dejemos que $\mathcal{O}_2=\mathcal{O}_2^\emptyset$ .

¿Es el caso de que cada cara de luz $\Sigma^1_2$ subconjunto de $\omega^\omega$ contiene un $x$ con $\mathcal{O}_2^x\equiv_T\mathcal{O}_2\oplus x$ ?

He etiquetado "teoría de conjuntos" y "teoría de modelos internos" porque me parece razonable que las respuestas puedan depender de hipótesis estructurales sobre el universo; siéntase libre de eliminar cualquiera de las dos etiquetas si esto le parece una locura.

Answer 1

En relación con la segunda pregunta: Todo no vacío $\Sigma^1_2$ subconjunto de $\omega^\omega$ tiene un $\Delta^1_2$ elemento $x$ , es decir, su $L$ -Miembro menos. El completo $\Sigma^1_2$ subconjunto de $\omega$ en relación con este $x$ es $\Sigma^1_2$ Así que $\mathcal{O}_2^x$ es recursivamente isomorfo a $\mathcal{O}_2$ .

Answer 2

Como mencionó Ted, la generalización apropiada es sólo para los niveles de impar. En Hjorth "Variations of the Martin-Solovay tree" y "Some applications of coarse inner model theory", se afirma el siguiente resultado folclórico que generaliza la prueba de Harrington de la dicotomía de Silver:

Asumir la negrita $\bf\Delta^1_2$ determinación. Si $E$ es una delgada $\Pi^1_3$ relación de equivalencia en $\mathbb{R}$ , entonces para cada $x$ Hay un $\Delta^1_3(<u_\omega)$ set $A$ tal que $x \in A \subseteq [x]_E$ .

Como se define en estos documentos, para un $\alpha<u_\omega$ , $A\subseteq \mathbb{R}$ es $\Sigma^1_3(\alpha)$ significa que hay $B\subseteq \mathbb{R}^2$ tal que $x\in A$ si $(x,y)\in B$ para un código agudo $y$ para $\alpha$ . $\Sigma^1_3(<u_\omega)$ significa $\Sigma^1_3(\alpha)$ para algunos $\alpha<u_\omega$ . $\Delta$ -Las clases de puntos se definen de forma obvia.

La generalización correcta de la topología Gandy-Harrington parece estar generada por $\Sigma^1_3(<u_\omega)$ conjuntos. Además, como corolario, todo conjunto delgado $\Pi^1_3$ la relación de equivalencia es $\Delta^1_3$ reducible a un $\Pi^1_3$ relación de equivalencia en un $\Pi^1_3$ subconjunto de $u_\omega$ (en los códigos agudos); cada delgado $\Delta^1_3$ la equivalencia es $\Delta^1_3$ reducible a la igualdad en $u_\omega$ .

No he leído la prueba de esta generalización. Así que sería bueno si alguien puede ampliar un poco más. Tampoco conozco la prueba del teorema de la base a nivel inferior con este enfoque, aunque parece ser sencillo.