Si se tira un dado justo $5$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que algún número aparezca más de una vez?

Question

Se tira un dado justo $5$ tiempos. Encuentra la probabilidad de que al menos uno de los posibles resultados $(1,2,3,4,5,6)$ aparece más de una vez. Una pista es el problema del cumpleaños.

Sigo recibiendo $0.9074$ pero aparentemente es un error. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esta probabilidad es $1$ menos la probabilidad de que todos los resultados sean diferentes, como en el problema del cumpleaños.

El primer lanzamiento puede ser cualquier cosa (probabilidad 1), el segundo debe ser desigual al primero por lo que la probabilidad $\frac{5}{6}$ el tercero desigual a los 2 anteriores, por lo que $\frac{4}{6}$ y así sucesivamente hasta la quinta, a la que le quedan dos opciones, por lo que $\frac{2}{6}$ . Multiplícalos, y toma uno menos eso.

Esto viene a ser (si he calculado bien) a $\frac{49}{54} = 0.9074074074\ldots$ Así que creo que tu respuesta era correcta en primer lugar (¿quizás se pidió una respuesta exacta en lugar de una aproximación decimal?) También es la misma que la respuesta de ADG.

Answer 2

$${\rm P}=1-\frac{\binom655!}{6^5}$$

Answer 3

Usted tiene $6^5$ total de resultados posibles
Pero quieres el resultado de todo pero cada número aparece exactamente una vez.
12345
23456
13456
12456 etc... Hay $_6P_5$ posibles formas de tener esos resultados (como se tira un dado a la vez, el orden importa, así que es una permutación)
Por lo tanto, como respondió el ADG, \begin{align} P &= 1-\frac{_6P_5}{6^5} = 1-\frac{\frac{6!}{(6-5)!}}{6^5} \\ &= 1-\frac{5!}{6^4} = 0.907407407 \end{align} Espero que sea de ayuda.