Encontrar el radio de un círculo

Question

Dado un punto A que fuera de un círculo para que $AT$ es tangente a la círculo en el punto $T$

Y $AC$ es una secante a ese círculo en los puntos $B,C$ .

De los puntos $B,C$ construimos alturas hasta $AT$ en puntos $D,E$ . (punto $E$ está entre los puntos $D,T$ )

$BD=b$ , $CE=c$ , ángulo $TAC=\alpha$ .

¿Cuál es la expresión del radio $r$ en términos de $b,c,\alpha$ ?

Estoy tratando de encontrar una buena solución tal vez euclidiana o trigonométrica/vectores.

Answer 1

$AB=b\csc\alpha$ , $~AC=c\csc\alpha$ $\Longrightarrow$ $AB\cdot AC=AT^{2}$ , $~AT=\sqrt{bc}\csc\alpha$
$\angle BTA=\theta=\angle BCT$ $\Longrightarrow$ $2r=\dfrac{BT}{\sin\theta}=\dfrac{BT^{2}}{BD}=\dfrac{BD^{2}+DT^{2}}{BD}=\dfrac{b^{2}+(AT-AD)^{2}}{b}$
$=\dfrac{b^{2}+(\sqrt{bc}\csc\alpha-b\cot\alpha)^{2}}{b}$

$\therefore$ $r=\dfrac{b^{2}+(\sqrt{bc}\csc\alpha-b\cot\alpha)^{2}}{2b}$